Упр.875 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
1) f (х) = 2х3 — х2;
2) f (х) = -3х3 + 2х2 + 4;
3) f(x) = х5 — 5х3 — 20х;
4) f(x) = (х + 3)3 (х — 4)2;
5) f(x) =(3x+1)/(x-2);
6) f (х) = X2 + 2/x.
$$f(x)=2x^3-x^2$$
$$f'(x)=(2x^3-x^2)’=6x^2-2x=2x(3x-1)$$
$$f'(x)=0 \iff 2x(3x-1)=0 \iff x=0 \text{ или } x=\frac13$$
$$f'(x)>0 \iff 2x(3x-1)>0 \iff x<0 \text{ или } x>\frac13$$
$$f'(x)<0 \iff 0<x<\frac13$$
$$f(x)=-3x^3+2x^2+4$$
$$f'(x)=(-3x^3+2x^2+4)’=-9x^2+4x=x(4-9x)$$
$$f'(x)=0 \iff x(4-9x)=0 \iff x=0 \text{ или } x=\frac49$$
$$f'(x)>0 \iff x(4-9x)>0 \iff 0<x<\frac49$$
$$f'(x)<0 \iff x<0 \text{ или } x>\frac49$$
$$f(x)=x^5-5x^3-20x$$
$$f'(x)=5x^4-15x^2-20=5(x^4-3x^2-4)$$
$$f'(x)=0 \iff x^4-3x^2-4=0$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-3t-4=0 \iff (t-4)(t+1)=0$$
Так как $$t=x^2\ge 0$$, получаем $$t=4$$, значит
$$x^2=4 \iff x=\pm 2$$
$$f'(x)>0 \iff (x-2)(x+2)>0 \iff x<-2 \text{ или } x>2$$
$$f'(x)<0 \iff -2<x<2$$
$$f(x)=(x+3)^3(x-4)^2$$
$$f'(x)=3(x+3)^2(x-4)^2+2(x+3)^3(x-4)$$
$$f'(x)=(x+3)^2(x-4)\bigl(3(x-4)+2(x+3)\bigr)=(x+3)^2(x-4)(5x-6)$$
$$f'(x)=0 \iff (x+3)^2(x-4)(5x-6)=0$$
$$x=-3,\; x=4,\; x=\frac65$$
Так как $$ (x+3)^2\ge 0 $$, знак производной определяется множителем $$ (x-4)(5x-6) $$:
$$f'(x)>0 \iff x<\frac65 \text{ или } x>4$$
$$f'(x)<0 \iff \frac65<x<4$$
$$f(x)=\frac{3x+1}{x-2}$$
$$f'(x)=\frac{(3x+1)'(x-2)-(3x+1)(x-2)’}{(x-2)^2}=\frac{3(x-2)-(3x+1)}{(x-2)^2}=-\frac7{(x-2)^2}$$
Область определения: $$x\ne 2$$.
Так как $$ (x-2)^2>0 $$ при $$x\ne 2$$, то
$$f'(x)<0 \text{ при всех } x\ne 2$$
Значений, при которых $$f'(x)=0$$ или $$f'(x)>0$$, нет.
$$f(x)=x^2+\frac2x$$
$$f'(x)=2x-\frac2{x^2}=\frac{2(x^3-1)}{x^2}$$
Область определения: $$x\ne 0$$.
$$f'(x)=0 \iff x^3-1=0 \iff x=1$$
Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, знак производной определяется числителем:
$$f'(x)>0 \iff x^3-1>0 \iff x>1$$
$$f'(x)<0 \iff x^3-1<0 \iff x<1,\; x\ne 0$$
То есть $$f'(x)<0$$ при $$x<0$$ и $$0<x<1$$.
Ответ
$$f'(x)=0$$ при $$x=0,\;\frac13$$; $$f'(x)>0$$ при $$x<0$$ или $$x>\frac13$$; $$f'(x)<0$$ при $$0<x<\frac13$$.
$$f'(x)=0$$ при $$x=0,\;\frac49$$; $$f'(x)>0$$ при $$0<x<\frac49$$; $$f'(x)<0$$ при $$x<0$$ или $$x>\frac49$$.
$$f'(x)=0$$ при $$x=-2,\;2$$; $$f'(x)>0$$ при $$x<-2$$ или $$x>2$$; $$f'(x)<0$$ при $$-2<x<2$$.
$$f'(x)=0$$ при $$x=-3,\;\frac65,\;4$$; $$f'(x)>0$$ при $$x<\frac65$$ или $$x>4$$; $$f'(x)<0$$ при $$\frac65<x<4$$.
$$f'(x)=0$$ нет; $$f'(x)>0$$ нет; $$f'(x)<0$$ при всех $$x\ne 2$$.
$$f'(x)=0$$ при $$x=1$$; $$f'(x)>0$$ при $$x>1$$; $$f'(x)<0$$ при $$x<0$$ и $$0<x<1$$.
