Упр.875 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти значения $$x$$, при которых значение производной функции $$f(x)$$ равно нулю; положительно; отрицательно:

1) $$f(x)=2x^3-x^2$$;

2) $$f(x)=-3x^3+2x^2+4$$;

3) $$f(x)=x^5-5x^3-20x$$;

4) $$f(x)=(x+3)^3(x-4)^2$$;

5) $$f(x)=\frac{3x+1}{x-2}$$;

6) $$f(x)=x^2+\frac{2}{x}$$.

1) $$f(x)=2x^3-x^2$$

$$f'(x)=6x^2-2x=2x(3x-1)$$

$$f'(x)=0 \iff 2x(3x-1)=0 \iff x=0 \text{ или } x=\frac13$$

$$f'(x)>0 \text{ при } x<0 \text{ или } x>\frac13$$

$$f'(x)<0 \text{ при } 0<x<\frac13$$

2) $$f(x)=-3x^3+2x^2+4$$

$$f'(x)=-9x^2+4x=x(4-9x)$$

$$f'(x)=0 \iff x(4-9x)=0 \iff x=0 \text{ или } x=\frac49$$

$$f'(x)>0 \text{ при } 0<x<\frac49$$

$$f'(x)<0 \text{ при } x<0 \text{ или } x>\frac49$$

3) $$f(x)=x^5-5x^3-20x$$

$$f'(x)=5x^4-15x^2-20=5(x^4-3x^2-4)$$

$$x^4-3x^2-4=0$$

Положим $$t=x^2$$. Тогда

$$t^2-3t-4=0 \iff (t-4)(t+1)=0$$

Так как $$t=x^2\ge 0$$, получаем $$t=4$$, значит

$$x=\pm 2$$

$$f'(x)>0 \text{ при } x<-2 \text{ или } x>2$$

$$f'(x)<0 \text{ при } -2<x<2$$

4) $$f(x)=(x+3)^3(x-4)^2$$

$$f'(x)=3(x+3)^2(x-4)^2+2(x+3)^3(x-4)$$

$$f'(x)=(x+3)^2(x-4)\bigl(3(x-4)+2(x+3)\bigr)$$

$$f'(x)=(x+3)^2(x-4)(5x-6)$$

$$f'(x)=0 \iff x=-3,\; x=\frac65,\; x=4$$

Так как $$(x+3)^2\ge 0$$, знак производной определяется множителями $$x-4$$ и $$5x-6$$:

$$f'(x)>0 \text{ при } x<\frac65 \text{ и } x>4$$

$$f'(x)<0 \text{ при } \frac65<x<4$$

5) $$f(x)=\frac{3x+1}{x-2}$$

$$f'(x)=\frac{3(x-2)-(3x+1)}{(x-2)^2}=\frac{-7}{(x-2)^2}$$

Область определения: $$x\ne 2$$.

Так как $$(x-2)^2>0$$ при $$x\ne 2$$, то

$$f'(x)<0 \text{ при всех } x\ne 2$$

Значений, при которых $$f'(x)=0$$ или $$f'(x)>0$$, нет.

6) $$f(x)=x^2+\frac{2}{x}$$

Область определения: $$x\ne 0$$.

$$f'(x)=2x-\frac{2}{x^2}=\frac{2x^3-2}{x^2}=\frac{2(x^3-1)}{x^2}$$

$$f'(x)=0 \iff x^3-1=0 \iff x=1$$

Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, знак производной определяется числителем:

$$f'(x)<0 \text{ при } x<1,\; x\ne 0$$

$$f'(x)>0 \text{ при } x>1$$

Ответ:

1) $$f'(x)=0$$ при $$x=0,\frac13$$; $$f'(x)>0$$ при $$x<0$$ или $$x>\frac13$$; $$f'(x)<0$$ при $$0<x<\frac13$$.

2) $$f'(x)=0$$ при $$x=0,\frac49$$; $$f'(x)>0$$ при $$0<x<\frac49$$; $$f'(x)<0$$ при $$x<0$$ или $$x>\frac49$$.

3) $$f'(x)=0$$ при $$x=-2,2$$; $$f'(x)>0$$ при $$x<-2$$ или $$x>2$$; $$f'(x)<0$$ при $$-2<x<2$$.

4) $$f'(x)=0$$ при $$x=-3,\frac65,4$$; $$f'(x)>0$$ при $$x<\frac65$$ и $$x>4$$; $$f'(x)<0$$ при $$\frac65<x<4$$.

5) $$f'(x)<0$$ при всех $$x\ne 2$$; $$f'(x)=0$$ и $$f'(x)>0$$ не бывает.

6) $$f'(x)=0$$ при $$x=1$$; $$f'(x)>0$$ при $$x>1$$; $$f'(x)<0$$ при $$x<1,\; x\ne 0$$.