Упр.873 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) x2/(x3+1);
3) sinx/(x+1);
4) lnx/(1-x).

1. $$f(x)=\frac{x^3+1}{x^2+1}$$

   Применим правило производной частного:

   $$f'(x)=\frac{(x^3+1)'(x^2+1)-(x^3+1)(x^2+1)’}{(x^2+1)^2}$$

   $$f'(x)=\frac{3x^2(x^2+1)-(x^3+1)\cdot 2x}{(x^2+1)^2}$$

   $$f'(x)=\frac{3x^4+3x^2-2x^4-2x}{(x^2+1)^2}=\frac{x^4+3x^2-2x}{(x^2+1)^2}$$

2. $$f(x)=\frac{x^2}{x^3+1}$$

   Тогда

   $$f'(x)=\frac{(x^2)'(x^3+1)-x^2(x^3+1)’}{(x^3+1)^2}$$

   $$f'(x)=\frac{2x(x^3+1)-x^2\cdot 3x^2}{(x^3+1)^2}$$

   $$f'(x)=\frac{2x^4+2x-3x^4}{(x^3+1)^2}=\frac{2x-x^4}{(x^3+1)^2}$$

3. $$f(x)=\frac{\sin x}{x+1}$$

   По формуле производной частного:

   $$f'(x)=\frac{(\sin x)'(x+1)-\sin x\cdot (x+1)’}{(x+1)^2}$$

   $$f'(x)=\frac{\cos x\,(x+1)-\sin x}{(x+1)^2}$$

4. $$f(x)=\frac{\ln x}{1-x}$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{(\ln x)'(1-x)-\ln x\cdot (1-x)’}{(1-x)^2}$$

   $$f'(x)=\frac{\frac{1}{x}(1-x)-\ln x\cdot(-1)}{(1-x)^2}$$

   $$f'(x)=\frac{\frac{1}{x}-1+\ln x}{(1-x)^2}=\frac{1-x+x\ln x}{x(1-x)^2}$$

Ответ

1. $$f'(x)=\frac{x^4+3x^2-2x}{(x^2+1)^2}$$
2. $$f'(x)=\frac{2x-x^4}{(x^3+1)^2}$$
3. $$f'(x)=\frac{\cos x\,(x+1)-\sin x}{(x+1)^2}$$
4. $$f'(x)=\frac{1-x+x\ln x}{x(1-x)^2}$$