Упр.868 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти точки, в которых касательные к кривым $$f(x)=x^3-x-1$$ и $$g(x)=3x^2-4x+1$$ параллельны. Написать уравнения этих касательных.

Касательные параллельны, значит их угловые коэффициенты равны:

$$f'(x)=g'(x).$$

Найдём производные:

$$f(x)=x^3-x-1,\qquad f'(x)=3x^2-1,$$

$$g(x)=3x^2-4x+1,\qquad g'(x)=6x-4.$$

Приравниваем:

$$3x^2-1=6x-4,$$

$$3x^2-6x+3=0,$$

$$x^2-2x+1=0,$$

$$\left(x-1\right)^2=0,$$

$$x=1.$$

Найдём точки касания:

$$f(1)=1^3-1-1=-1,$$

$$g(1)=3\cdot 1^2-4\cdot 1+1=0.$$

Тогда точки касания: $$\left(1,-1\right)$$ и $$\left(1,0\right).$$

Угловой коэффициент касательных:

$$f'(1)=3\cdot 1^2-1=2,$$

$$g'(1)=6\cdot 1-4=2.$$

Уравнения касательных:

$$y+1=2(x-1),$$

$$y=2x-3,$$

и

$$y=2(x-1),$$

$$y=2x-2.$$

Ответ: $$\left(1,-1\right),\ y=2x-3;\ \left(1,0\right),\ y=2x-2.$$