Упр.867 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 867 В каких точках касательная к графику функции у=(x+2)/(x-2) образует с осью Ох угол, равный -пи/4? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 867 1111

Угол наклона касательной равен $$-\frac{\pi}{4}$$, значит её угловой коэффициент

$$k=\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1.$$

Найдём производную функции $$y=\frac{x+2}{x-2}$$:

$$ y'(x)=\frac{(x+2)'(x-2)-(x+2)(x-2)’}{(x-2)^2} =\frac{1\cdot(x-2)-(x+2)\cdot1}{(x-2)^2} =\frac{x-2-x-2}{(x-2)^2} =-\frac{4}{(x-2)^2}. $$

Приравняем производную к угловому коэффициенту касательной:

$$-\frac{4}{(x-2)^2}=-1.$$

Тогда

$$ \frac{4}{(x-2)^2}=1, \qquad (x-2)^2=4. $$

Отсюда

$$ x-2=\pm 2, \qquad x=0 \text{ или } x=4. $$

Найдём соответствующие ординаты:

$$ y(0)=\frac{0+2}{0-2}=-1, \qquad y(4)=\frac{4+2}{4-2}=3. $$

Следовательно, касательная образует с осью $$Ox$$ угол $$-\frac{\pi}{4}$$ в точках $$ (0,-1) $$ и $$ (4,3) $$.

Ответ

$$(0,-1),\ (4,3).$$