Упр.866 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Найти точки графика функции $$y=f(x)$$, в которых касательная к этому графику параллельна прямой $$y=kx$$:
- $$f(x)=e^x+e^{-x},\quad k=\frac{3}{2}$$;
- $$f(x)=\sqrt{3x+1},\quad k=\frac{3}{4}$$;
- $$f(x)=\sin 2x,\quad k=2$$;
- $$f(x)=x+\sin x,\quad k=0$$.
Прямая параллельна касательной к графику функции тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны, то есть $$f'(x)=k.$$ Найдём точки касания для каждого случая.
$$f(x)=e^x+e^{-x}, \quad k=\frac{3}{2}.$$
$$f'(x)=e^x-e^{-x}.$$
Приравниваем производную к угловому коэффициенту:
$$e^x-e^{-x}=\frac{3}{2}.$$
Умножим на $$e^x$$:
$$e^{2x}-1=\frac{3}{2}e^x.$$
Положим $$t=e^x$$, тогда $$t>0$$ и
$$2t^2-3t-2=0.$$
$$D=9+16=25,$$
$$t_1=\frac{3+5}{4}=2, \quad t_2=\frac{3-5}{4}=-\frac{1}{2}.$$
Так как $$t>0$$, подходит только $$t=2$$. Тогда
$$e^x=2 \Rightarrow x=\ln 2.$$
Найдём ординату точки:
$$f(\ln 2)=e^{\ln 2}+e^{-\ln 2}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}.$$
Точка: $$\left(\ln 2;\frac{5}{2}\right).$$
$$f(x)=\sqrt{3x+1}, \quad k=\frac{3}{4}.$$
$$f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}.$$
Приравниваем к $$k$$:
$$\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}=\frac{3}{4}.$$
$$2\sqrt{3x+1}=4,$$
$$\sqrt{3x+1}=2,$$
$$3x+1=4,$$
$$x=1.$$
Тогда
$$f(1)=\sqrt{3\cdot 1+1}=2.$$
Точка: $$\left(1;2\right).$$
$$f(x)=\sin 2x, \quad k=2.$$
$$f'(x)=2\cos 2x.$$
Приравниваем:
$$2\cos 2x=2,$$
$$\cos 2x=1.$$
Отсюда
$$2x=2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z},$$
$$x=\pi n.$$
Тогда
$$f(\pi n)=\sin 2\pi n=0.$$
Точки: $$\left(\pi n;0\right), \quad n\in \mathbb{Z}.$$
$$f(x)=x+\sin x, \quad k=0.$$
$$f'(x)=1+\cos x.$$
Приравниваем к нулю:
$$1+\cos x=0,$$
$$\cos x=-1.$$
Отсюда
$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$
Найдём ординату:
$$f(\pi+2\pi n)=\pi+2\pi n+\sin(\pi+2\pi n)=\pi+2\pi n.$$
Точки: $$\left(\pi+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right), \quad n\in \mathbb{Z}.$$
Ответ: 1) $$\left(\ln 2;\frac{5}{2}\right)$$; 2) $$\left(1;2\right)$$; 3) $$\left(\pi n;0\right),\ n\in \mathbb{Z}$$; 4) $$\left(\pi+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right),\ n\in \mathbb{Z}$$.
