Упр.866 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) f(x)=ex + e^-x, k=3/2;
2) f(x)= корень (3x+1), k=3/4;
3) f(x)=sin2x, k=2;
4) f(x)=x+sinx, k=0.

1. $$f(x)=e^x+e^{-x}, \quad k=\frac{3}{2}$$

   Касательная параллельна прямой $$y=kx$$, значит $$f'(x)=k$$.

   $$f'(x)=e^x-e^{-x}$$
   $$e^x-e^{-x}=\frac{3}{2}$$
   $$e^{2x}-1=\frac{3}{2}e^x$$
   $$2e^{2x}-3e^x-2=0$$

   Положим $$t=e^x$$, тогда

   $$2t^2-3t-2=0$$
   $$D=9+16=25$$
   $$t_1=\frac{3+5}{4}=2,\quad t_2=\frac{3-5}{4}=-\frac12$$

   Так как $$e^x>0$$, подходит только $$e^x=2$$, откуда

   $$x=\ln 2$$

   $$y=f(\ln 2)=e^{\ln 2}+e^{-\ln 2}=2+\frac12=\frac52$$

   Точка: $$\left(\ln 2;\frac52\right)$$.

2. $$f(x)=\sqrt{3x+1}, \quad k=\frac{3}{4}$$

   $$f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$$

   Приравниваем производную к угловому коэффициенту:

   $$\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}=\frac{3}{4}$$
   $$2\sqrt{3x+1}=4$$
   $$\sqrt{3x+1}=2$$
   $$3x+1=4$$
   $$x=1$$

   $$y=f(1)=\sqrt{3\cdot 1+1}=2$$

   Точка: $$\left(1;2\right)$$.

3. $$f(x)=\sin 2x, \quad k=2$$

   $$f'(x)=2\cos 2x$$

   Ищем точки, где

   $$2\cos 2x=2$$
   $$\cos 2x=1$$
   $$2x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
   $$x=\pi n$$

   $$y=f(\pi n)=\sin(2\pi n)=0$$

   Точки: $$\left(\pi n;0\right),\ n\in\mathbb Z$$.

4. $$f(x)=x+\sin x, \quad k=0$$

   $$f'(x)=1+\cos x$$

   Так как касательная параллельна оси абсцисс, то

   $$1+\cos x=0$$
   $$\cos x=-1$$
   $$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$y=f(\pi+2\pi n)=\pi+2\pi n+\sin(\pi+2\pi n)=\pi+2\pi n$$

   Точки: $$\left(\pi+2\pi n;\pi+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$.

Ответ

1) $$\left(\ln 2;\frac52\right)$$;
2) $$\left(1;2\right)$$;
3) $$\left(\pi n;0\right),\ n\in\mathbb Z$$;
4) $$\left(\pi+2\pi n;\pi+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$.