Упр.865 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

1) у = х4 и у = х6 + 2х2;
2) у = х4 и у = х3 — 3х2;
3) у = (х + 2)2 и у = 2 — х2;
4) у = х (2 + х) и у = х (2 — х).

Подробный ответ

$$y=x^4 \quad \text{и} \quad y=x^6+2x^2$$
Найдём общую точку:
$$x^4=x^6+2x^2$$
$$x^6-x^4+2x^2=0$$
$$x^2(x^4-x^2+2)=0$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x^4-x^2+2=0$$.
Пусть $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-t+2=0$$
$$D=1-8=-7<0$$
Значит, других действительных решений нет, и общая точка одна: $$ (0;0) $$.
Найдём производные:
$$y’=4x^3,\qquad y’=6x^5+4x$$
В точке $$x=0$$:
$$4\cdot 0^3=0,\qquad 6\cdot 0^5+4\cdot 0=0$$
У обеих кривых в точке $$ (0;0) $$ одинаковый наклон, значит касательная общая:
$$y=0$$
$$y=x^4 \quad \text{и} \quad y=x^3-3x^2$$
Точка пересечения:
$$x^4=x^3-3x^2$$
$$x^4-x^3+3x^2=0$$
$$x^2(x^2-x+3)=0$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x^2-x+3=0$$.
Для второго уравнения:
$$D=1-12=-11<0$$
Значит, общая точка одна: $$ (0;0) $$.
Производные:
$$y’=4x^3,\qquad y’=3x^2-6x$$
В точке $$x=0$$:
$$4\cdot 0^3=0,\qquad 3\cdot 0^2-6\cdot 0=0$$
Следовательно, общая касательная:
$$y=0$$
$$y=(x+2)^2 \quad \text{и} \quad y=2-x^2$$
Точка пересечения:
$$ (x+2)^2=2-x^2 $$
$$x^2+4x+4=2-x^2$$
$$2x^2+4x+2=0$$
$$x^2+2x+1=0$$
$$ (x+1)^2=0 $$
$$x=-1$$
Тогда $$y=( -1+2)^2=1$$, значит общая точка $$(-1;1)$$.
Производные:
$$y’=2(x+2),\qquad y’=-2x$$
В точке $$x=-1$$:
$$2(-1+2)=2,\qquad -2\cdot(-1)=2$$
Уравнение касательной:
$$y-1=2(x+1)$$
$$y=2x+3$$
$$y=x(2+x) \quad \text{и} \quad y=x(2-x)$$
Точка пересечения:
$$x(2+x)=x(2-x)$$
$$2x+x^2=2x-x^2$$
$$2x^2=0$$
$$x=0$$
Значит, общая точка одна: $$ (0;0) $$.
Производные:
$$y’=(x(2+x))’=2+2x,\qquad y’=(x(2-x))’=2-2x$$
В точке $$x=0$$:
$$2+2\cdot 0=2,\qquad 2-2\cdot 0=2$$
Уравнение общей касательной:
$$y=2x$$