Упр.865 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Показать, что графики двух данных функций имеют одну общую точку и в этой точке общую касательную. Написать уравнение этой касательной:
- $$y=x^4$$ и $$y=x^6+2x^2$$;
- $$y=x^4$$ и $$y=x^3-3x^2$$;
- $$y=(x+2)^2$$ и $$y=2-x^2$$;
- $$y=x(2+x)$$ и $$y=x(2-x)$$.
1) Рассмотрим функции $$y=x^4$$ и $$y=x^6+2x^2.$$
Найдём общую точку:
$$x^4=x^6+2x^2$$
$$x^6-x^4+2x^2=0$$
$$x^2(x^4-x^2+2)=0.$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x^4-x^2+2=0.$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-t+2=0,$$
$$D=1-8=-7<0.$$
Значит, других действительных решений нет, и общая точка одна: $$(0;0).$$
Найдём производные:
$$y_1’=4x^3,\qquad y_2’=6x^5+4x.$$
В точке $$x=0$$:
$$y_1′(0)=0,\qquad y_2′(0)=0.$$
Следовательно, касательная общая и имеет угловой коэффициент $$k=0$$. Через точку $$(0;0)$$ она проходит по оси абсцисс:
$$y=0.$$
2) Рассмотрим функции $$y=x^4$$ и $$y=x^3-3x^2.$$
Найдём общую точку:
$$x^4=x^3-3x^2$$
$$x^4-x^3+3x^2=0$$
$$x^2(x^2-x+3)=0.$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x^2-x+3=0.$$
Для квадратного уравнения
$$D=1-12=-11<0,$$
поэтому других действительных решений нет. Общая точка одна: $$(0;0).$$
Производные:
$$y_1’=4x^3,\qquad y_2’=3x^2-6x.$$
В точке $$x=0$$:
$$y_1′(0)=0,\qquad y_2′(0)=0.$$
Значит, общая касательная:
$$y=0.$$
3) Рассмотрим функции $$y=(x+2)^2$$ и $$y=2-x^2.$$
Найдём общую точку:
$$(x+2)^2=2-x^2$$
$$x^2+4x+4=2-x^2$$
$$2x^2+4x+2=0$$
$$x^2+2x+1=0$$
$$(x+1)^2=0,$$
откуда $$x=-1.$$
Тогда $$y=( -1+2)^2=1,$$ значит, общая точка одна: $$(-1;1).$$
Производные:
$$y_1’=2(x+2),\qquad y_2’=-2x.$$
В точке $$x=-1$$:
$$y_1′(-1)=2,\qquad y_2′(-1)=2.$$
Уравнение касательной к первой функции:
$$y-1=2(x+1),$$
откуда
$$y=2x+3.$$
Это же уравнение является касательной и ко второй функции.
4) Рассмотрим функции $$y=x(2+x)$$ и $$y=x(2-x).$$
Найдём общую точку:
$$x(2+x)=x(2-x)$$
$$2x+x^2=2x-x^2$$
$$2x^2=0,$$
откуда $$x=0.$$
Тогда $$y=0,$$ значит, общая точка одна: $$(0;0).$$
Производные:
$$y_1’=(x(2+x))’=2+2x,\qquad y_2’=(x(2-x))’=2-2x.$$
В точке $$x=0$$:
$$y_1′(0)=2,\qquad y_2′(0)=2.$$
Следовательно, общая касательная проходит через точку $$(0;0)$$ и имеет угловой коэффициент $$2$$:
$$y=2x.$$
Ответ: 1) $$y=0$$; 2) $$y=0$$; 3) $$y=2x+3$$; 4) $$y=2x$$.
