Упр.864 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Под каким углом пересекаются графики функций (углом между кривыми в точке их пересечения называют угол между касательными к этим кривым в этой точке):
1) $$y=8-x$$ и $$y=4\sqrt{x+4}$$;
2) $$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$$ и $$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$$;
3) $$y=\ln(x+1)$$ и $$y=\ln(x-1)$$;
4) $$y=e^x$$ и $$y=e^{-x}$$.
Для угла пересечения графиков найдём точку их пересечения и углы наклона касательных в этой точке. Тогда искомый угол равен разности этих углов.
1)
$$8-x=4\sqrt{x+4}$$
$$64-16x+x^2=16x+64$$
$$x^2-32x=0$$
$$x(x-32)=0$$
С учётом области определения и знака левой части подходит только $$x=0$$.
Найдём производные:
$$y_1=8-x,\quad y_1’=-1$$
$$y_2=4\sqrt{x+4},\quad y_2’=\frac{2}{\sqrt{x+4}}$$
При $$x=0$$ имеем:
$$k_1=-1,\qquad k_2=\frac{2}{\sqrt{4}}=1$$
Значит, углы наклона касательных равны $$-\frac{\pi}{4}$$ и $$\frac{\pi}{4}$$, поэтому
$$\beta=\frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{2}$$
2)
$$\frac12(x+1)^2=\frac12(x-1)^2$$
$$(x+1)^2=(x-1)^2$$
$$x^2+2x+1=x^2-2x+1$$
$$4x=0,\qquad x=0$$
Производные:
$$y_1=\frac12(x+1)^2,\quad y_1’=x+1$$
$$y_2=\frac12(x-1)^2,\quad y_2’=x-1$$
При $$x=0$$:
$$k_1=1,\qquad k_2=-1$$
Следовательно,
$$\beta=\frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{2}$$
3)
$$\ln(1+x)=\ln(1-x)$$
$$1+x=1-x$$
$$2x=0,\qquad x=0$$
Производные:
$$y_1=\ln(1+x),\quad y_1’=\frac{1}{1+x}$$
$$y_2=\ln(1-x),\quad y_2’=-\frac{1}{1-x}$$
При $$x=0$$:
$$k_1=1,\qquad k_2=-1$$
Тогда
$$\beta=\frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{2}$$
4)
$$e^x=e^{-x}$$
$$x=-x$$
$$2x=0,\qquad x=0$$
Производные:
$$y_1=e^x,\quad y_1’=e^x$$
$$y_2=e^{-x},\quad y_2’=-e^{-x}$$
При $$x=0$$:
$$k_1=1,\qquad k_2=-1$$
Следовательно,
$$\beta=\frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{2}$$
Ответ
Во всех четырёх случаях графики пересекаются под углом $$\frac{\pi}{2}$$.
