Упр.864 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

1) y=8-x и y=4 корень (x+4);
2) y=1(x+1)2/2 и y=1(x-1)2/2;
3) y=ln(x+1) и y=ln(x-1);
4) y=ex и y=e^-x.

Подробный ответ

Для каждой пары найдём точку пересечения графиков и угловые коэффициенты касательных в этой точке. Угол между кривыми равен углу между касательными.
1) $$y=8-x$$ и $$y=4\sqrt{x+4}$$
Точка пересечения:
$$ 8-x=4\sqrt{x+4} $$
$$ 64-16x+x^2=16x+64 $$
$$ x^2-32x=0 $$
$$ x(x-32)=0 $$
С учётом области определения и знака левой части подходит только $$x=0$$.
Производные:
$$ y_1’=(8-x)’=-1,\qquad y_2’=\left(4\sqrt{x+4}\right)’=\frac{2}{\sqrt{x+4}} $$
При $$x=0$$:
$$ k_1=-1,\qquad k_2=\frac{2}{\sqrt{4}}=1 $$
Тогда угол между касательными:
$$ \beta=\frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{2} $$
2) $$y=\frac12(x+1)^2$$ и $$y=\frac12(x-1)^2$$
Точка пересечения:
$$ \frac12(x+1)^2=\frac12(x-1)^2 $$
$$ (x+1)^2=(x-1)^2 $$
$$ x^2+2x+1=x^2-2x+1 $$
$$ 4x=0,\qquad x=0 $$
Производные:
$$ y_1’=(x+1),\qquad y_2’=(x-1) $$
При $$x=0$$:
$$ k_1=1,\qquad k_2=-1 $$
$$ \beta=\frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{2} $$
3) $$y=\ln(x+1)$$ и $$y=\ln(x-1)$$
Точка пересечения:
$$ \ln(x+1)=\ln(x-1) $$
$$ x+1=x-1 $$
Это невозможно, значит графики не пересекаются. Следовательно, угол между ними не определяется.
4) $$y=e^x$$ и $$y=e^{-x}$$
Точка пересечения:
$$ e^x=e^{-x} $$
$$ x=-x $$
$$ x=0 $$
Производные:
$$ y_1’=e^x,\qquad y_2’=-e^{-x} $$
При $$x=0$$:
$$ k_1=1,\qquad k_2=-1 $$
$$ \beta=\frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{2} $$