Упр.863 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти угол между осью $$Oy$$ и касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x=0$$:

1. $$f(x)=x+e^{-x}$$;
2. $$f(x)=\cos x$$;
3. $$f(x)=\sqrt{x+1}+\frac{ex}{2}$$.

Угол между касательной и осью $$Oy$$ равен

$$\beta=\frac{\pi}{2}-\alpha,$$

где $$\tan \alpha = f'(x_0), \quad x_0=0.$$

1. $$f(x)=x+e^{-x}$$

   $$f'(x)=1-e^{-x}, \qquad f'(0)=1-e^0=0.$$

   Тогда $$\tan \alpha=0,$$ значит $$\alpha=0.$$

   Следовательно,

   $$\beta=\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}.$$

2. $$f(x)=\cos x$$

   $$f'(x)=-\sin x, \qquad f'(0)=-\sin 0=0.$$

   Тогда $$\tan \alpha=0,$$ значит $$\alpha=0.$$

   Следовательно,

   $$\beta=\frac{\pi}{2}.$$

3. $$f(x)=\sqrt{x+1}+e^{x/2}$$

   $$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}+\frac{1}{2}e^{x/2},$$

   $$f'(0)=\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{2}e^0=\frac12+\frac12=1.$$

   Тогда

   $$\tan \alpha=1,\qquad \alpha=\frac{\pi}{4}.$$

   Следовательно,

   $$\beta=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}.$$

Ответ: 1) $$\frac{\pi}{2}$$; 2) $$\frac{\pi}{2}$$; 3) $$\frac{\pi}{4}$$.