Упр.863 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) f(x)=x+e^-x;
2) f(x) =cosx;
3) f(x) = корень (x+1) + ex/2.

1. Угол между касательной и осью $$Oy$$ равен

   $$\beta=\frac{\pi}{2}-\alpha,$$

   где $$\tan \alpha = f'(0).$$

   Для $$f(x)=x+e^{-x}$$ имеем

   $$f'(x)=1-e^{-x}, \qquad f'(0)=1-1=0.$$

   Тогда

   $$\alpha=\arctan 0=0,\qquad \beta=\frac{\pi}{2}.$$

2. Для $$f(x)=\cos x$$ имеем

   $$f'(x)=-\sin x, \qquad f'(0)=-\sin 0=0.$$

   Следовательно,

   $$\alpha=\arctan 0=0,\qquad \beta=\frac{\pi}{2}.$$

3. Для $$f(x)=\sqrt{x+1}+e^{x/2}$$ имеем

   $$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}+\frac{1}{2}e^{x/2}.$$

   Тогда

   $$f'(0)=\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.$$

   Значит,

   $$\alpha=\arctan 1=\frac{\pi}{4},\qquad \beta=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}.$$

Ответ

1) $$\frac{\pi}{2}$$; 2) $$\frac{\pi}{2}$$; 3) $$\frac{\pi}{4}$$.