Упр.862 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Написать уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x=0$$:

1. $$f(x)=x+\frac{1}{x+1}$$;
2. $$f(x)=\sin 2x-\ln(x+1)$$.

Для касательной в точке с абсциссой $$x_0=0$$ используем формулу

$$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$

1)

$$f(x)=x+\frac{1}{x+1}.$$

Найдём значение функции и производную в точке $$x_0=0$$:

$$f(0)=0+\frac{1}{0+1}=1,$$

$$f'(x)=1-\frac{1}{(x+1)^2},$$

$$f'(0)=1-\frac{1}{(0+1)^2}=1-1=0.$$

Тогда уравнение касательной:

$$y=1+0\cdot(x-0),$$

$$y=1.$$

2)

$$f(x)=\sin 2x-\ln(x+1).$$

Найдём значение функции и производную в точке $$x_0=0$$:

$$f(0)=\sin 0-\ln 1=0,$$

$$f'(x)=2\cos 2x-\frac{1}{x+1},$$

$$f'(0)=2\cos 0-\frac{1}{1}=2-1=1.$$

Тогда уравнение касательной:

$$y=0+1\cdot(x-0),$$

$$y=x.$$

Ответ

1) $$y=1$$; 2) $$y=x$$.