Упр.860 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Написать уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x_0$$:

1. $$f(x)=x^2+x+1,\quad x_0=1$$;
2. $$f(x)=x-3x,\quad x_0=2$$;
3. $$f(x)=\frac{1}{x},\quad x_0=3$$;
4. $$f(x)=\frac{1}{x},\quad x_0=-2$$;
5. $$f(x)=\sin x,\quad x_0=\frac{\pi}{4}$$;
6. $$f(x)=e^x,\quad x_0=0$$;
7. $$f(x)=\ln x,\quad x_0=1$$;
8. $$f(x)=\sqrt{x},\quad x_0=1$$.

Уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x_0$$:

$$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$

1. $$f(x)=x^2+x+1,\quad x_0=1.$$

   $$f'(x)=2x+1,\quad f'(1)=3,\quad f(1)=1^2+1+1=3.$$

   $$y=3+3(x-1)=3x.$$

2. $$f(x)=x-3x^2,\quad x_0=2.$$

   $$f'(x)=1-6x,\quad f'(2)=-11,\quad f(2)=2-3\cdot 2^2=-10.$$

   $$y=-10-11(x-2)=12-11x.$$

3. $$f(x)=\frac{1}{x},\quad x_0=3.$$

   $$f'(x)=-\frac{1}{x^2},\quad f'(3)=-\frac{1}{9},\quad f(3)=\frac{1}{3}.$$

   $$y=\frac{1}{3}-\frac{1}{9}(x-3)=\frac{2}{3}-\frac{1}{9}x.$$

4. $$f(x)=\frac{1}{x},\quad x_0=-2.$$

   $$f'(x)=-\frac{1}{x^2},\quad f'(-2)=-\frac{1}{4},\quad f(-2)=-\frac{1}{2}.$$

   $$y=-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}(x+2)=-\frac{1}{4}x-1.$$

5. $$f(x)=\sin x,\quad x_0=\frac{\pi}{4}.$$

   $$f'(x)=\cos x,\quad f’\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},\quad f\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

   $$y=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\pi\sqrt{2}}{8}.$$

6. $$f(x)=e^x,\quad x_0=0.$$

   $$f'(x)=e^x,\quad f'(0)=1,\quad f(0)=1.$$

   $$y=1+1(x-0)=x+1.$$

7. $$f(x)=\ln x,\quad x_0=1.$$

   $$f'(x)=\frac{1}{x},\quad f'(1)=1,\quad f(1)=\ln 1=0.$$

   $$y=0+1(x-1)=x-1.$$

8. $$f(x)=\sqrt{x},\quad x_0=1.$$

   $$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},\quad f'(1)=\frac{1}{2},\quad f(1)=1.$$

   $$y=1+\frac{1}{2}(x-1)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}.$$

Ответ

1. $$y=3x$$
2. $$y=12-11x$$
3. $$y=\frac{2}{3}-\frac{1}{9}x$$
4. $$y=-\frac{1}{4}x-1$$
5. $$y=\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\pi\sqrt{2}}{8}$$
6. $$y=x+1$$
7. $$y=x-1$$
8. $$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$$