Упр.859 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) f(x) =1/3×3,x0=1;
2) f(x) =1/x,x0=1;
3) f(x) = 2 корень x,x0=3;
4) f(x) =18/корень x,x0=3;
5) f(x) =e^((3x+1)/2),x0=0;
6) f(x) = ln(2x+1),x0=2.

1. Угол наклона касательной к оси $$Ox$$ связан с её угловым коэффициентом формулой $$k=\tg \alpha$$, значит $$\alpha=\arctg k$$.

   Для $$f(x)=\frac{1}{3}x^3$$ имеем:

   $$f'(x)=x^2,$$

   $$k=f'(1)=1,$$

   $$\alpha=\arctg 1=\frac{\pi}{4}.$$

2. Для $$f(x)=\frac{1}{x}$$:

   $$f'(x)=-\frac{1}{x^2},$$

   $$k=f'(1)=-1,$$

   $$\alpha=\arctg(-1)=-\frac{\pi}{4}.$$

3. Для $$f(x)=2\sqrt{x}$$:

   $$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}},$$

   $$k=f'(3)=\frac{1}{\sqrt{3}},$$

   $$\alpha=\arctg\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi}{6}.$$

4. Для $$f(x)=\frac{18}{\sqrt{x}}$$:

   $$f'(x)=18\left(x^{-\frac12}\right)’=18\cdot\left(-\frac12\right)x^{-\frac32}=-\frac{9}{x\sqrt{x}},$$

   $$k=f'(3)=-\frac{9}{3\sqrt{3}}=-\sqrt{3},$$

   $$\alpha=\arctg(-\sqrt{3})=-\frac{\pi}{3}.$$

5. Для $$f(x)=e^{\frac{3x+1}{2}}$$:

   $$f'(x)=\frac{3}{2}e^{\frac{3x+1}{2}},$$

   $$k=f'(0)=\frac{3}{2}e^{\frac12}=\frac{3\sqrt{e}}{2},$$

   $$\alpha=\arctg\frac{3\sqrt{e}}{2}.$$

6. Для $$f(x)=\ln(2x+1)$$:

   $$f'(x)=\frac{2}{2x+1},$$

   $$k=f'(2)=\frac{2}{2\cdot 2+1}=\frac{2}{5},$$

   $$\alpha=\arctg\frac{2}{5}.$$

Ответ

1) $$\frac{\pi}{4}$$; 2) $$-\frac{\pi}{4}$$; 3) $$\frac{\pi}{6}$$; 4) $$-\frac{\pi}{3}$$; 5) $$\arctg\frac{3\sqrt{e}}{2}$$; 6) $$\arctg\frac{2}{5}$$.