Упр.859 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Найти угол между касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x_0$$ и осью $$Ox$$:
1) $$f(x)=\frac{1}{3}x^3,\ x_0=1$$;
2) $$f(x)=\frac{1}{x},\ x_0=1$$;
3) $$f(x)=2\sqrt{x},\ x_0=3$$;
4) $$f(x)=\frac{18}{\sqrt{x}},\ x_0=3$$;
5) $$f(x)=e^{\frac{3x+1}{2}},\ x_0=0$$;
6) $$f(x)=\ln(2x+1),\ x_0=2$$.
Угол между касательной и осью $$Ox$$ находим по формуле $$k=\tg \alpha,$$ где $$k=f'(x_0).$$ Тогда $$\alpha=\arctg k.$$
$$f(x)=\frac{1}{3}x^3,\quad x_0=1.$$
$$f'(x)=x^2,$$
$$k=f'(1)=1,$$
$$\alpha=\arctg 1=\frac{\pi}{4}.$$
$$f(x)=\frac{1}{x},\quad x_0=1.$$
$$f'(x)=-\frac{1}{x^2},$$
$$k=f'(1)=-1,$$
$$\alpha=\arctg(-1)=-\frac{\pi}{4}.$$
$$f(x)=2\sqrt{x},\quad x_0=3.$$
$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}},$$
$$k=f'(3)=\frac{1}{\sqrt{3}},$$
$$\alpha=\arctg\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi}{6}.$$
$$f(x)=\frac{18}{\sqrt{x}},\quad x_0=3.$$
$$f'(x)=18\left(x^{-\frac12}\right)’=18\cdot\left(-\frac12\right)x^{-\frac32}=-\frac{9}{x\sqrt{x}},$$
$$k=f'(3)=-\frac{9}{3\sqrt{3}}=-\sqrt{3},$$
$$\alpha=\arctg(-\sqrt{3})=-\frac{\pi}{3}.$$
$$f(x)=e^{\frac{3x+1}{2}},\quad x_0=0.$$
$$f'(x)=\frac{3}{2}e^{\frac{3x+1}{2}},$$
$$k=f'(0)=\frac{3}{2}e^{\frac12}=\frac{3\sqrt{e}}{2},$$
$$\alpha=\arctg\frac{3\sqrt{e}}{2}.$$
$$f(x)=\ln(2x+1),\quad x_0=2.$$
$$f'(x)=\frac{2}{2x+1},$$
$$k=f'(2)=\frac{2}{2\cdot 2+1}=\frac{2}{5},$$
$$\alpha=\arctg\frac{2}{5}.$$
Ответ: 1) $$\frac{\pi}{4}$$; 2) $$-\frac{\pi}{4}$$; 3) $$\frac{\pi}{6}$$; 4) $$-\frac{\pi}{3}$$; 5) $$\arctg\frac{3\sqrt{e}}{2}$$; 6) $$\arctg\frac{2}{5}$$.
