Упр.855 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) f (х) = х — ln х;
2) f (х) = х ln х;
3) f (х) = х2 ln х;
4) f (х) = х3 — 3 ln х.

Во всех пунктах область определения: $$x>0.$$

1. $$f(x)=x-\ln x$$

   $$f'(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}.$$

   $$f'(x)=0 \iff x=1.$$

   Так как при $$x>0$$ знак производной определяется числителем $$x-1$$, то

   $$f'(x)>0 \text{ при } x\in(1;+\infty),$$

   $$f'(x)<0 \text{ при } x\in(0;1).$$

2. $$f(x)=x\ln x$$

   $$f'(x)=\ln x+1.$$

   $$f'(x)=0 \iff \ln x=-1 \iff x=e^{-1}.$$

   Тогда

   $$f'(x)>0 \text{ при } x\in(e^{-1};+\infty),$$

   $$f'(x)<0 \text{ при } x\in(0;e^{-1}).$$

3. $$f(x)=x^2\ln x$$

   $$f'(x)=2x\ln x+x=x(2\ln x+1).$$

   $$f'(x)=0 \iff 2\ln x+1=0 \iff \ln x=-\frac12 \iff x=e^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt e}.$$

   Следовательно,

   $$f'(x)>0 \text{ при } x\in\left(\frac{1}{\sqrt e};+\infty\right),$$

   $$f'(x)<0 \text{ при } x\in\left(0;\frac{1}{\sqrt e}\right).$$

4. $$f(x)=x^3-3\ln x$$

   $$f'(x)=3x^2-\frac{3}{x}=3\left(x^2-\frac{1}{x}\right)=\frac{3(x^3-1)}{x}.$$

   $$f'(x)=0 \iff x^3-1=0 \iff x=1.$$

   При $$x>0$$ знак производной определяется выражением $$x^3-1$$, поэтому

   $$f'(x)>0 \text{ при } x\in(1;+\infty),$$

   $$f'(x)<0 \text{ при } x\in(0;1).$$

Ответ

1) $$f'(x)=0$$ при $$x=1$$; $$f'(x)>0$$ при $$x\in(1;+\infty)$$; $$f'(x)<0$$ при $$x\in(0;1)$$.
2) $$f'(x)=0$$ при $$x=e^{-1}$$; $$f'(x)>0$$ при $$x\in(e^{-1};+\infty)$$; $$f'(x)<0$$ при $$x\in(0;e^{-1})$$.
3) $$f'(x)=0$$ при $$x=\frac{1}{\sqrt e}$$; $$f'(x)>0$$ при $$x\in\left(\frac{1}{\sqrt e};+\infty\right)$$; $$f'(x)<0$$ при $$x\in\left(0;\frac{1}{\sqrt e}\right)$$.
4) $$f'(x)=0$$ при $$x=1$$; $$f'(x)>0$$ при $$x\in(1;+\infty)$$; $$f'(x)<0$$ при $$x\in(0;1)$$.