Упр.853 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти значения производной функции $$f(x)$$ в точках, в которых значение этой функции равно $$0$$:

1. $$f(x)=e^{2x}\ln(2x-1)$$;
2. $$f(x)=\frac{\sin x-\cos x}{\sin x}$$.

1) $$f(x)=e^{2x}\ln(2x-1).$$

Найдём производную:

$$f'(x)=(e^{2x})’\ln(2x-1)+e^{2x}\bigl(\ln(2x-1)\bigr)’$$

$$f'(x)=2e^{2x}\ln(2x-1)+e^{2x}\cdot \frac{2}{2x-1}$$

$$f'(x)=2e^{2x}\left(\ln(2x-1)+\frac{1}{2x-1}\right).$$

Значение функции равно нулю, когда

$$e^{2x}\ln(2x-1)=0.$$

Так как $$e^{2x}\neq 0,$$ то

$$\ln(2x-1)=0,$$

$$2x-1=1,$$

$$x=1.$$

Тогда

$$f'(1)=2e^{2}\left(\ln(1)+\frac{1}{1}\right)=2e^{2}(0+1)=2e^{2}.$$

2) $$f(x)=\frac{\sin x-\cos x}{\sin x}.$$

Найдём производную по формуле производной частного:

$$f'(x)=\frac{(\sin x-\cos x)’\sin x-(\sin x-\cos x)(\sin x)’}{\sin^2 x}$$

$$f'(x)=\frac{(\cos x+\sin x)\sin x-(\sin x-\cos x)\cos x}{\sin^2 x}$$

$$f'(x)=\frac{\cos x\sin x+\sin^2 x-\sin x\cos x+\cos^2 x}{\sin^2 x}=\frac{1}{\sin^2 x}.$$

Значение функции равно нулю, когда

$$\frac{\sin x-\cos x}{\sin x}=0.$$

Отсюда

$$\sin x-\cos x=0,$$

$$1-\ctg x=0,$$

$$\ctg x=1,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Тогда

$$f’\left(\frac{\pi}{4}+\pi n\right)=\frac{1}{\sin^2\left(\frac{\pi}{4}+\pi n\right)}=\frac{1}{\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}=2.$$

Ответ: 1) $$2e^2$$; 2) $$2$$.