Упр.853 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) f(x) =e2xln(2x-1);
2) f(x) = (sinx-cosx)/sinx.

1. $$f(x)=e^{2x}\ln(2x-1)$$

   Найдём производную:

   $$ f'(x)=(e^{2x})’\ln(2x-1)+e^{2x}(\ln(2x-1))’ $$

   $$ f'(x)=2e^{2x}\ln(2x-1)+e^{2x}\cdot \frac{2}{2x-1} $$

   $$ f'(x)=2e^{2x}\left(\ln(2x-1)+\frac{1}{2x-1}\right) $$

   Найдём точки, в которых $$f(x)=0$$:

   $$ e^{2x}\ln(2x-1)=0 $$

   Так как $$e^{2x}>0$$, то

   $$ \ln(2x-1)=0 $$

   $$ 2x-1=1,\quad x=1 $$

   Тогда

   $$ f'(1)=2e^{2}\left(\ln(1)+\frac{1}{1}\right)=2e^{2} $$

2. $$f(x)=\frac{\sin x-\cos x}{\sin x}$$

   Найдём производную по формуле производной частного:

   $$ f'(x)=\frac{(\sin x-\cos x)’\sin x-(\sin x-\cos x)(\sin x)’}{\sin^2 x} $$

   $$ f'(x)=\frac{(\cos x+\sin x)\sin x-(\sin x-\cos x)\cos x}{\sin^2 x} $$

   $$ f'(x)=\frac{\cos x\sin x+\sin^2 x-\sin x\cos x+\cos^2 x}{\sin^2 x} =\frac{1}{\sin^2 x} $$

   Найдём точки, в которых $$f(x)=0$$:

   $$ \frac{\sin x-\cos x}{\sin x}=0 $$

   При этом $$\sin x\neq 0$$, значит

   $$ \sin x-\cos x=0 $$

   $$ \tg x=1,\quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z $$

   Тогда

   $$ f’\left(\frac{\pi}{4}+\pi n\right)=\frac{1}{\sin^2\left(\frac{\pi}{4}+\pi n\right)} =\frac{1}{\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}=2 $$

Ответ

1) $$2e^2$$; 2) $$2$$.