Упр.852 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) f (х) = 5 (sin х — cos х) + корень 2 cos 5х;
2) f (х) = 1 — 5 cos 2х + 2 (sin х — cos х) — 2х.

1) $$f(x)=5(\sin x-\cos x)+\sqrt{2}\cos 5x$$

Найдём производную:

$$ f'(x)=5(\cos x+\sin x)-5\sqrt{2}\sin 5x $$

Приравняем её к нулю:

$$ \cos x+\sin x-\sqrt{2}\sin 5x=0 $$

Преобразуем:

$$ \sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-\sqrt{2}\sin 5x=0 $$

$$ \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-\sin 5x=0 $$

Используем формулу разности синусов:

$$ 2\cos\left(\frac{x+\frac{\pi}{4}+5x}{2}\right)\sin\left(\frac{x+\frac{\pi}{4}-5x}{2}\right)=0 $$

$$ \cos\left(3x+\frac{\pi}{8}\right)\sin\left(\frac{\pi}{8}-2x\right)=0 $$

Отсюда:

$$ \sin\left(\frac{\pi}{8}-2x\right)=0 $$

или

$$ \cos\left(3x+\frac{\pi}{8}\right)=0 $$

1) $$\frac{\pi}{8}-2x=\pi n$$, тогда

$$ x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z $$

2) $$3x+\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{2}+\pi n$$, тогда

$$ x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{3}, \quad n\in\mathbb Z $$

2) $$f(x)=1-5\cos 2x+2(\sin x-\cos x)-2x$$

Найдём производную:

$$ f'(x)=10\sin 2x+2(\cos x+\sin x)-2 $$

Приравняем к нулю:

$$ 10\sin 2x+2(\cos x+\sin x)-2=0 $$

$$ 5\sin 2x+\cos x+\sin x-1=0 $$

Преобразуем:

$$ 5\cdot 2\sin x\cos x+\cos x+\sin x-1=0 $$

Удобно сделать замену:

$$ t=\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right) $$

Тогда

$$ \sin x+\cos x=\sqrt{2}\,t,\qquad \sin 2x=2\sin x\cos x $$

После преобразований получаем квадратное уравнение:

$$ 10t^2+\sqrt{2}\,t-6=0 $$

$$ D=(\sqrt{2})^2-4\cdot 10\cdot(-6)=242 $$

$$ t_1=\frac{-\sqrt{2}+11\sqrt{2}}{20}=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad t_2=\frac{-\sqrt{2}-11\sqrt{2}}{20}=-\frac{3\sqrt{2}}{5} $$

Тогда:

$$ \cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} $$

или

$$ \cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{3\sqrt{2}}{5} $$

1) $$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$ x-\frac{\pi}{4}=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n $$

$$ x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

2) $$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{3\sqrt{2}}{5}$$

$$ x-\frac{\pi}{4}=\pm \arccos\left(-\frac{3\sqrt{2}}{5}\right)+2\pi n $$

$$ x=\frac{\pi}{4}\pm \arccos\left(-\frac{3\sqrt{2}}{5}\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{2},\; x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z$$

2) $$x=\frac{\pi}{4}\pm \arccos\left(-\frac{3\sqrt{2}}{5}\right)+2\pi n,\; x=2\pi n,\; x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$