Упр.851 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) $$f(x)=\frac{\sin x-\cos x}{x}$$

Найдём производную по правилу производной частного:

$$f'(x)=\frac{(\sin x-\cos x)’ \cdot x-(\sin x-\cos x)\cdot x’}{x^2}$$

$$f'(x)=\frac{(\cos x+\sin x)\cdot x-(\sin x-\cos x)\cdot 1}{x^2}$$

$$f'(x)=\frac{x\cos x+x\sin x-\sin x+\cos x}{x^2} =\frac{\cos x\,(x+1)+\sin x\,(x-1)}{x^2}$$

2) $$f(x)=\frac{1-\sin 2x}{\sin x-\cos x}$$

Преобразуем числитель:

$$1-\sin 2x=1-2\sin x\cos x=\sin^2 x+\cos^2 x-2\sin x\cos x=(\sin x-\cos x)^2$$

Тогда

$$f(x)=\frac{(\sin x-\cos x)^2}{\sin x-\cos x}=\sin x-\cos x$$

Следовательно,

$$f'(x)=(\sin x-\cos x)’=\cos x+\sin x$$

Ответ

1) $$f'(x)=\frac{\cos x\,(x+1)+\sin x\,(x-1)}{x^2}$$

2) $$f'(x)=\cos x+\sin x$$