Упр.850 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 850

1. $$f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{x}$$

   Найдём производную по правилу производной частного:

   $$ f'(x)=\frac{(e^x-e^{-x})’ \cdot x-(e^x-e^{-x})\cdot x’}{x^2} $$

   $$ f'(x)=\frac{(e^x+e^{-x})x-(e^x-e^{-x})}{x^2} $$

   $$ f'(x)=\frac{xe^x+xe^{-x}-e^x+e^{-x}}{x^2} $$

   $$ f'(x)=\frac{e^x(x-1)+e^{-x}(x+1)}{x^2} $$

2. $$f(x)=\frac{2^x-\log_2 x}{\ln 2 \cdot x}$$

   Найдём производную по правилу производной частного:

   $$ f'(x)=\frac{(2^x-\log_2 x)’\cdot (\ln 2 \cdot x)-(2^x-\log_2 x)\cdot (\ln 2 \cdot x)’}{(\ln 2 \cdot x)^2} $$

   Так как

   $$ (2^x-\log_2 x)’=2^x\ln 2-\frac{1}{x\ln 2}, \qquad (\ln 2 \cdot x)’=\ln 2, $$

   получаем:

   $$ f'(x)=\frac{\left(2^x\ln 2-\frac{1}{x\ln 2}\right)\cdot (\ln 2 \cdot x)-(2^x-\log_2 x)\cdot \ln 2}{(\ln 2 \cdot x)^2} $$

   $$ f'(x)=\frac{2^x x\ln^2 2-1-2^x\ln 2+\ln x}{x^2\ln^2 2} $$

   $$ f'(x)=\frac{2^x\ln 2\,(x\ln 2-1)+\ln x-1}{x^2\ln^2 2} $$

Ответ

1) $$f'(x)=\frac{e^x(x-1)+e^{-x}(x+1)}{x^2}$$

2) $$f'(x)=\frac{2^x x\ln^2 2-1-2^x\ln 2+\ln x}{x^2\ln^2 2}$$