Упр.850 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) $$f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{x}$$

Найдём производную по правилу производной частного:

$$f'(x)=\frac{(e^x-e^{-x})’ \cdot x-(e^x-e^{-x})\cdot x’}{x^2}$$

$$f'(x)=\frac{(e^x+e^{-x})x-(e^x-e^{-x})}{x^2}$$

$$f'(x)=\frac{xe^x+xe^{-x}-e^x+e^{-x}}{x^2} =\frac{e^x(x-1)+e^{-x}(x+1)}{x^2}$$

2) $$f(x)=\frac{2^x-\log_2 x}{\ln 2 \cdot x}$$

Найдём производную по правилу производной частного:

$$f'(x)=\frac{(2^x-\log_2 x)’\cdot (\ln 2 \cdot x)-(2^x-\log_2 x)\cdot (\ln 2 \cdot x)’}{(\ln 2 \cdot x)^2}$$

$$f'(x)=\frac{\left(2^x\ln 2-\frac{1}{x\ln 2}\right)\ln 2 \cdot x-(2^x-\log_2 x)\ln 2}{x^2\ln^2 2}$$

$$f'(x)=\frac{2^x x\ln^2 2-1-2^x\ln 2+\ln x}{x^2\ln^2 2}$$

$$f'(x)=\frac{2^x\ln 2\,(x\ln 2-1)+\ln x-1}{x^2\ln^2 2}$$

Ответ: $$f'(x)=\frac{e^x(x-1)+e^{-x}(x+1)}{x^2};\quad f'(x)=\frac{2^x\ln 2\,(x\ln 2-1)+\ln x-1}{x^2\ln^2 2}$$