Упр.849 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найдём производные данных функций по правилу производной частного.

1. $$f(x)=\frac{1+\cos x}{\sin x}$$

   $$f'(x)=\frac{(1+\cos x)’\sin x-(1+\cos x)(\sin x)’}{\sin^2 x} =\frac{-\sin x\cdot \sin x-(1+\cos x)\cos x}{\sin^2 x}$$

   $$f'(x)=\frac{-\sin^2 x-\cos x-\cos^2 x}{\sin^2 x} =-\frac{\sin^2 x+\cos^2 x+\cos x}{\sin^2 x} =-\frac{1+\cos x}{\sin^2 x}$$

2. $$f(x)=\frac{\sqrt{3x}}{3^x+1}$$

   $$f'(x)=\frac{(\sqrt{3x})'(3^x+1)-\sqrt{3x}(3^x+1)’}{(3^x+1)^2}$$

   $$(\sqrt{3x})’=\frac{3}{2\sqrt{3x}}, \qquad (3^x+1)’=3^x\ln 3$$

   $$f'(x)=\frac{\frac{3}{2\sqrt{3x}}(3^x+1)-\sqrt{3x}\,3^x\ln 3}{(3^x+1)^2}$$

   $$f'(x)=\frac{3(3^x+1)-2\cdot 3x\cdot 3^x\ln 3}{2\sqrt{3x}\,(3^x+1)^2}$$

3. $$f(x)=\frac{e^{0,5x}}{\cos 2x-5}$$

   $$f'(x)=\frac{(e^{0,5x})'(\cos 2x-5)-e^{0,5x}(\cos 2x-5)’}{(\cos 2x-5)^2}$$

   $$(e^{0,5x})’=0,5e^{0,5x}, \qquad (\cos 2x-5)’=-2\sin 2x$$

   $$f'(x)=\frac{0,5e^{0,5x}(\cos 2x-5)+2e^{0,5x}\sin 2x}{(\cos 2x-5)^2} =\frac{0,5e^{0,5x}(\cos 2x-5+4\sin 2x)}{(\cos 2x-5)^2}$$

4. $$f(x)=\frac{5^{2x}}{\sin 3x+7}$$

   $$f'(x)=\frac{(5^{2x})'(\sin 3x+7)-5^{2x}(\sin 3x+7)’}{(\sin 3x+7)^2}$$

   $$(5^{2x})’=2\cdot 5^{2x}\ln 5, \qquad (\sin 3x+7)’=3\cos 3x$$

   $$f'(x)=\frac{2\cdot 5^{2x}\ln 5\,(\sin 3x+7)-5^{2x}\cdot 3\cos 3x}{(\sin 3x+7)^2}$$

   $$f'(x)=\frac{5^{2x}\bigl(2\ln 5\cdot \sin 3x+14\ln 5-3\cos 3x\bigr)}{(\sin 3x+7)^2}$$

Ответ:

$$1)\; f'(x)=-\frac{1+\cos x}{\sin^2 x};\qquad 2)\; f'(x)=\frac{3(3^x+1)-2\cdot 3x\cdot 3^x\ln 3}{2\sqrt{3x}\,(3^x+1)^2};$$

$$3)\; f'(x)=\frac{0,5e^{0,5x}(\cos 2x-5+4\sin 2x)}{(\cos 2x-5)^2};\qquad 4)\; f'(x)=\frac{5^{2x}\bigl(2\ln 5\cdot \sin 3x+14\ln 5-3\cos 3x\bigr)}{(\sin 3x+7)^2}.$$