Упр.847 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) 0,5^(1+sinx);
3) cos корень 3 степени (x+2);
4) sin(lnx).

1. $$f(x)=2^{\cos x+1}$$

   Пусть $$u=\cos x+1$$, тогда $$f(x)=2^u$$. По формуле производной сложной функции:

   $$f'(x)=2^u \ln 2 \cdot u’$$

   $$u’=-\sin x$$

   Следовательно,

   $$f'(x)=2^{\cos x+1}\ln 2\cdot(-\sin x)$$

2. $$f(x)=0{,}5^{\,1+\sin x}$$

   Пусть $$u=1+\sin x$$, тогда $$f(x)=0{,}5^u$$. Тогда

   $$f'(x)=0{,}5^u \ln 0{,}5 \cdot u’$$

   $$u’=\cos x$$

   Значит,

   $$f'(x)=0{,}5^{\,1+\sin x}\ln 0{,}5\cdot \cos x$$

3. $$f(x)=\cos \sqrt[3]{x+2}$$

   Пусть $$u=\sqrt[3]{x+2}=(x+2)^{1/3}$$, тогда $$f(x)=\cos u$$. По правилу цепочки:

   $$f'(x)=-\sin u \cdot u’$$

   $$u’=\frac{1}{3}(x+2)^{-2/3}=\frac{1}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}$$

   Следовательно,

   $$f'(x)=-\frac{\sin \sqrt[3]{x+2}}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}$$

4. $$f(x)=\sin(\ln x)$$

   Пусть $$u=\ln x$$, тогда $$f(x)=\sin u$$. Тогда

   $$f'(x)=\cos u \cdot u’$$

   $$u’=\frac{1}{x}$$

   Значит,

   $$f'(x)=\frac{\cos(\ln x)}{x}$$

Ответ

1. $$f'(x)=2^{\cos x+1}\ln 2\cdot(-\sin x)$$
2. $$f'(x)=0{,}5^{\,1+\sin x}\ln 0{,}5\cdot \cos x$$
3. $$f'(x)=-\frac{\sin \sqrt[3]{x+2}}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}$$
4. $$f'(x)=\frac{\cos(\ln x)}{x}$$