Упр.846 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\ln\sqrt{x-1}$$
2. $$e^{\sqrt{3+x}}$$
3. $$\ln(\cos x)$$
4. $$\ln(\sin x)$$

1) $$f(x)=\ln\sqrt{x-1}$$

Пусть $$u=\sqrt{x-1}$$, тогда $$f(u)=\ln u$$. По правилу производной сложной функции получаем:

$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x-1}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}} =\frac{1}{2(x-1)}.$$

Ответ: $$\frac{1}{2(x-1)}$$

2) $$f(x)=e^{\sqrt{3+x}}$$

Пусть $$u=\sqrt{3+x}$$, тогда $$f(u)=e^u$$. Тогда

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{3+x}}\cdot e^{\sqrt{3+x}}.$$

Ответ: $$\frac{e^{\sqrt{3+x}}}{2\sqrt{3+x}}$$

3) $$f(x)=\ln(\cos x)$$

Используем формулу производной логарифма и производную косинуса:

$$f'(x)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)=-\tg x.$$

Ответ: $$-\tg x$$

4) $$f(x)=\ln(\sin x)$$

Тогда

$$f'(x)=\frac{1}{\sin x}\cdot \cos x=\ctg x.$$

Ответ: $$\ctg x$$