Упр.842 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) f(x) = ех-х;
2) f (х) = х ln 2 — 2х;
3) f(x) = exx2;
4) f (х) = ех корень х.

1. $$f(x)=e^x-x$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=(e^x-x)’=e^x-1$$

   Требуется, чтобы $$f'(x)>0$$:

   $$e^x-1>0$$

   $$e^x>1=e^0$$

   Так как показательная функция возрастает, то

   $$x>0$$

2. $$f(x)=x\ln 2-2^x$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=(x\ln 2-2^x)’=\ln 2-2^x\ln 2$$

   $$f'(x)=\ln 2\,(1-2^x)$$

   Так как $$\ln 2>0$$, то знак производной определяется выражением $$1-2^x$$:

   $$1-2^x>0$$

   $$2^x<1=2^0$$

   Следовательно,

   $$x<0$$

3. $$f(x)=e^x x^2$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=(e^x x^2)’=e^x x^2+e^x\cdot 2x=e^x(x^2+2x)=e^x x(x+2)$$

   Так как $$e^x>0$$ при любом $$x$$, то нужно решить неравенство

   $$x(x+2)>0$$

   Отсюда

   $$x\in(-\infty;-2)\cup(0;+\infty)$$

4. $$f(x)=e^x\sqrt{x}$$

   Область определения: $$x\ge 0$$. Но производная существует только при $$x>0$$.

   Найдём производную:

   $$f'(x)=(e^x\sqrt{x})’=e^x\sqrt{x}+e^x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

   $$f'(x)=e^x\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)$$

   При $$x>0$$ имеем $$e^x>0$$ и $$\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}>0$$, значит

   $$f'(x)>0$$ при всех $$x>0$$.

Ответ

1) $$x\in(0;+\infty)$$; 2) $$x\in(-\infty;0)$$; 3) $$x\in(-\infty;-2)\cup(0;+\infty)$$; 4) $$x\in(0;+\infty)$$.