Упр.841 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Выяснить, при каких значениях $$x$$ значение производной функции $$f(x)$$ равно 0:
- $$f(x)=x-\cos x$$;
- $$f(x)=\frac{1}{2}x-\sin x$$;
- $$f(x)=2\ln(x+3)-x$$;
- $$f(x)=\ln(x^4-1)-2x$$;
- $$f(x)=x^2+2x-12\ln x$$;
- $$f(x)=x^2-6x-8\ln x$$.
1) $$f(x)=x-\cos x$$
$$f'(x)=(x-\cos x)’=1+\sin x$$
Приравниваем производную к нулю:
$$1+\sin x=0$$
$$\sin x=-1$$
Отсюда
$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
2) $$f(x)=\frac12x-\sin x$$
$$f'(x)=\left(\frac12x-\sin x\right)’=\frac12-\cos x$$
$$\frac12-\cos x=0$$
$$\cos x=\frac12$$
Следовательно,
$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
3) $$f(x)=2\ln(x+3)-x$$
Область определения: $$x>-3$$.
$$f'(x)=\left(2\ln(x+3)-x\right)’=\frac{2}{x+3}-1$$
$$\frac{2}{x+3}-1=0$$
$$\frac{2}{x+3}=1$$
$$x+3=2$$
$$x=-1$$
4) $$f(x)=\ln(x+1)-2x$$
Область определения: $$x>-1$$.
$$f'(x)=\left(\ln(x+1)-2x\right)’=\frac{1}{x+1}-2$$
$$\frac{1}{x+1}-2=0$$
$$\frac{1}{x+1}=2$$
$$x+1=\frac12$$
$$x=-\frac12$$
5) $$f(x)=x^2+2x-12\ln x$$
Область определения: $$x>0$$.
$$f'(x)=(x^2+2x-12\ln x)’=2x+2-\frac{12}{x}$$
$$2x+2-\frac{12}{x}=0$$
Умножим на $$x$$:
$$2x^2+2x-12=0$$
$$x^2+x-6=0$$
$$\left(x+3\right)\left(x-2\right)=0$$
$$x=-3 \text{ или } x=2$$
С учётом области определения подходит только $$x=2$$.
6) $$f(x)=x^2-6x-8\ln x$$
Область определения: $$x>0$$.
$$f'(x)=(x^2-6x-8\ln x)’=2x-6-\frac{8}{x}$$
$$2x-6-\frac{8}{x}=0$$
Умножим на $$x$$:
$$2x^2-6x-8=0$$
$$x^2-3x-4=0$$
$$\left(x-4\right)\left(x+1\right)=0$$
$$x=4 \text{ или } x=-1$$
С учётом области определения подходит только $$x=4$$.
Ответ: 1) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; 2) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; 3) $$x=-1$$; 4) $$x=-\frac12$$; 5) $$x=2$$; 6) $$x=4$$.
