Упр.840 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти значение производной функции $$f(x)$$ в точке $$x_0$$:
   
   1) $$f(x)=e^{2x-4}+2\ln x,\quad x_0=2$$;
   
   2) $$f(x)=e^{3x-2}-\ln(3x-1),\quad x_0=\frac{2}{3}$$;
   
   3) $$f(x)=2^x-\log_2 x,\quad x_0=1$$;
   
   4) $$f(x)=\log_{0.5}x-3^x,\quad x_0=1$$.

1) $$f(x)=e^{2x-4}+2\ln x,\quad x_0=2.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\left(e^{2x-4}\right)’+(2\ln x)’=2e^{2x-4}+\frac{2}{x}.$$

Подставим $$x=2$$:

$$f'(2)=2e^{2\cdot 2-4}+\frac{2}{2}=2e^0+1=2+1=3.$$

Ответ: 3.

2) $$f(x)=e^{3x-2}-\ln(3x-1),\quad x_0=\frac{2}{3}.$$

Тогда

$$f'(x)=\left(e^{3x-2}\right)’-\left(\ln(3x-1)\right)’=3e^{3x-2}-\frac{3}{3x-1}.$$

Подставим $$x=\frac{2}{3}$$:

$$f’\!\left(\frac{2}{3}\right)=3e^{3\cdot \frac{2}{3}-2}-\frac{3}{3\cdot \frac{2}{3}-1}=3e^0-\frac{3}{2-1}=3-3=0.$$

Ответ: 0.

3) $$f(x)=2^x-\log_2 x,\quad x_0=1.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=(2^x)’-\left(\log_2 x\right)’=2^x\ln 2-\frac{1}{x\ln 2}.$$

Тогда

$$f'(1)=2^1\ln 2-\frac{1}{1\cdot \ln 2}=2\ln 2-\frac{1}{\ln 2}=\frac{2\ln^2 2-1}{\ln 2}.$$

Ответ: $$\frac{2\ln^2 2-1}{\ln 2}.$$

4) $$f(x)=\log_{0,5}x-3^x,\quad x_0=1.$$

Производная равна

$$f'(x)=\left(\log_{0,5}x\right)’-\left(3^x\right)’=\frac{1}{x\ln 0,5}-3^x\ln 3.$$

Так как $$\ln 0,5=-\ln 2,$$ то

$$f'(1)=\frac{1}{1\cdot \ln 0,5}-3^1\ln 3=-\frac{1}{\ln 2}-3\ln 3.$$

Ответ: $$-\frac{1}{\ln 2}-3\ln 3.$$