Упр.84 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

84. Решить уравнения:
    1) $$5^{2x}=5^4$$;
    2) $$\left(\frac{1}{2}\right)^{2x}=\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$$;
    3) $$9^x=3^{2\sqrt{2}}$$;
    4) $$16^x=2^8$$.

1. $$5^{2x}=5^4$$

   Так как основания равны, приравниваем показатели:

   $$2x=4$$

   $$x=2$$

2. $$\left(\frac12\right)^{2x}=\left(\frac12\right)^{-1}$$

   При равных основаниях получаем:

   $$2x=-1$$

   $$x=-\frac12$$

3. $$9^x=3^{2\sqrt2}$$

   Представим $$9$$ как $$3^2$$:

   $$\left(3^2\right)^x=3^{2\sqrt2}$$

   $$3^{2x}=3^{2\sqrt2}$$

   Следовательно,

   $$2x=2\sqrt2$$

   $$x=\sqrt2$$

4. $$16^x=2^{8\pi}$$

   Представим $$16$$ как $$2^4$$:

   $$\left(2^4\right)^x=2^{8\pi}$$

   $$2^{4x}=2^{8\pi}$$

   Тогда

   $$4x=8\pi$$

   $$x=2\pi$$

Ответ: 1) $$2$$; 2) $$-\frac12$$; 3) $$\sqrt2$$; 4) $$2\pi$$.