Упр.830 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти производную функции $$f(x)=\sqrt{x^2-5x+6}$$ при $$x<2$$ и при $$x>3$$.

Пусть $$f(x)=\sqrt{x^2-5x+6}.$$

Найдём производную по правилу дифференцирования сложной функции:

$$f'(x)=\left(x^2-5x+6\right)^{\frac12}{}’=\frac12\left(x^2-5x+6\right)^{-\frac12}(2x-5).$$

Следовательно,

$$f'(x)=\frac{2x-5}{2\sqrt{x^2-5x+6}}.$$

При $$x<2$$ и при $$x>3$$ подкоренное выражение положительно, поэтому производная имеет смысл и формула верна.

Можно также записать:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3),$$

тогда

$$f'(x)=\frac{2x-5}{2\sqrt{(x-2)(x-3)}}.$$

Ответ

$$f'(x)=\frac{2x-5}{2\sqrt{x^2-5x+6}}=\frac{2x-5}{2\sqrt{(x-2)(x-3)}}\quad (x<2,\ x>3).$$