Упр.826 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Выяснить, при каких значениях $$x$$ производная функции принимает отрицательные значения:
1) $$y=(5-3x)^4(3x-1)^3$$;
2) $$y=(2x-3)^2(3-2x)^3$$;
3) $$y=\frac{3x^2-1}{1-2x}$$;
4) $$y=\frac{3x^2}{1-3x}$$.
1) $$y=(5-3x)^4(3x-1)^3$$
Найдём производную:
$$y’=\bigl((5-3x)^4\bigr)'(3x-1)^3+(5-3x)^4\bigl((3x-1)^3\bigr)’$$
$$y’=4(-3)(5-3x)^3(3x-1)^3+(5-3x)^4\cdot 3(3x-1)^2\cdot 3$$
$$y’=3(5-3x)^3(3x-1)^2(19-21x)$$
Так как $$3>0$$ и $$\bigl(3x-1\bigr)^2\ge 0,$$ то знак производной определяется выражением $$\bigl(5-3x\bigr)(19-21x).$$
$$(5-3x)(19-21x)<0$$
Корни: $$x=\frac{19}{21}$$ и $$x=\frac{5}{3}.$$ Знак произведения отрицателен между корнями.
$$x\in\left(\frac{19}{21},\frac{5}{3}\right)$$
2) $$y=(2x-3)^2(3-2x)^3$$
Заметим, что $$3-2x=-(2x-3),$$ поэтому
$$y=(2x-3)^2\cdot\bigl(-(2x-3)\bigr)^3=-(2x-3)^5$$
Тогда
$$y’=-5(2x-3)^4\cdot 2=-10(2x-3)^4$$
Производная отрицательна при всех $$x,$$ кроме точки, где она равна нулю:
$$-10(2x-3)^4<0 \quad \text{при} \quad x\ne \frac{3}{2}$$
$$x\in\left(-\infty,\frac{3}{2}\right)\cup\left(\frac{3}{2},+\infty\right)$$
3) $$y=\frac{3x^2-1}{1-2x}$$
Найдём производную по формуле производной частного:
$$y’=\frac{(3x^2-1)'(1-2x)-(3x^2-1)(1-2x)’}{(1-2x)^2}$$
$$y’=\frac{6x(1-2x)-(3x^2-1)(-2)}{(1-2x)^2} =\frac{-6x^2+6x-2}{(1-2x)^2}$$
$$y’=\frac{-2(3x^2-3x+1)}{(1-2x)^2}$$
Так как $$\Delta = (-3)^2-4\cdot 3\cdot 1=9-12=-3<0,$$ а старший коэффициент положителен, то
$$3x^2-3x+1>0 \quad \text{при всех } x$$
Следовательно, $$y'<0$$ при всех $$x,$$ где функция определена. Область определения:
$$1-2x\ne 0 \quad \Rightarrow \quad x\ne \frac12$$
$$x\in\left(-\infty,\frac12\right)\cup\left(\frac12,+\infty\right)$$
4) $$y=\frac{3x^3}{1-3x}$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{(3x^3)'(1-3x)-3x^3(1-3x)’}{(1-3x)^2}$$
$$y’=\frac{9x^2(1-3x)-3x^3(-3)}{(1-3x)^2} =\frac{9x^2-27x^3+9x^3}{(1-3x)^2} =\frac{9x^2(1-2x)}{(1-3x)^2}$$
Так как знаменатель положителен при $$x\ne \frac13,$$ то
$$y'<0 \iff 9x^2(1-2x)<0$$
Поскольку $$9x^2\ge 0,$$ неравенство выполняется при
$$1-2x<0 \quad \Rightarrow \quad x>\frac12$$
и с учётом области определения $$x\ne \frac13$$ получаем:
$$x\in\left(\frac12,+\infty\right)$$
Ответ
1) $$x\in\left(\frac{19}{21},\frac{5}{3}\right)$$; 2) $$x\in\left(-\infty,\frac{3}{2}\right)\cup\left(\frac{3}{2},+\infty\right)$$; 3) $$x\in\left(-\infty,\frac12\right)\cup\left(\frac12,+\infty\right)$$; 4) $$x\in\left(\frac12,+\infty\right)$$.
