Упр.826 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) у = (5 — Зх)4 (3х — 1)3;
2) у = (2х — З)2 (3 — 2х)3;
3) y=(3×2-1)/(1-2x);
4) y=3×2/(1-3x).

1. $$y=(5-3x)^4(3x-1)^3$$

   Найдём производную по правилу произведения:

   $$ y’=\bigl((5-3x)^4\bigr)'(3x-1)^3+(5-3x)^4\bigl((3x-1)^3\bigr)’ $$

   $$ y’=4(5-3x)^3\cdot(-3)(3x-1)^3+(5-3x)^4\cdot 3(3x-1)^2\cdot 3 $$

   $$ y’=3(5-3x)^3(3x-1)^2(19-21x) $$

   Так как $$3(3x-1)^2\ge 0$$, то знак производной определяется выражением $$ (5-3x)(19-21x) $$.

   $$ (5-3x)(19-21x)<0 $$

   Отсюда

   $$ \frac{19}{21}

2. $$y=(2x-3)^2(3-2x)^3$$

   Заметим, что $$3-2x=-(2x-3)$$, тогда

   $$ y=(2x-3)^2\cdot\bigl(-(2x-3)\bigr)^3=-(2x-3)^5 $$

   Тогда

   $$ y’=-5(2x-3)^4\cdot 2=-10(2x-3)^4 $$

   Производная отрицательна при всех $$x$$, кроме точки, где она равна нулю:

   $$ -10(2x-3)^4<0 \quad \Longleftrightarrow \quad x\ne \frac{3}{2} $$

3. $$y=\frac{3x^2-1}{1-2x}$$

   По формуле производной частного:

   $$ y’=\frac{(3x^2-1)'(1-2x)-(3x^2-1)(1-2x)’}{(1-2x)^2} $$

   $$ y’=\frac{6x(1-2x)-(3x^2-1)(-2)}{(1-2x)^2} =\frac{-6x^2+6x-2}{(1-2x)^2} =-\frac{2(3x^2-3x+1)}{(1-2x)^2} $$

   Знаменатель положителен при $$x\ne \frac12$$, поэтому знак $$y’$$ определяется числителем.

   $$ 3x^2-3x+1>0 $$

   Дискриминант:

   $$ D=(-3)^2-4\cdot 3\cdot 1=9-12=-3<0 $$

   Так как старший коэффициент положителен, то $$3x^2-3x+1>0$$ при всех $$x$$. Значит,

   $$ y'<0 \quad \text{при всех } x\ne \frac12 $$

4. $$y=\frac{3x^3}{1-3x}$$

   Найдём производную:

   $$ y’=\frac{(3x^3)'(1-3x)-3x^3(1-3x)’}{(1-3x)^2} $$

   $$ y’=\frac{9x^2(1-3x)+9x^3}{(1-3x)^2} =\frac{9x^2-18x^3}{(1-3x)^2} =\frac{9x^2(1-2x)}{(1-3x)^2} $$

   Так как $$9x^2\ge 0$$ и $$ (1-3x)^2>0 $$ при $$x\ne \frac13$$, то

   $$ y'<0 \quad \Longleftrightarrow \quad 1-2x<0 $$

   Отсюда

   $$ x>\frac12 $$

Ответ

1) $$x\in\left(\frac{19}{21},\frac53\right)$$;
2) $$x\ne \frac32$$;
3) $$x\ne \frac12$$;
4) $$x>\frac12$$.