Упр.825 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Выяснить, при каких значениях $$x$$ производная функции принимает положительные значения:

1. $$f(x)=x^4-4x^2+1$$;
2. $$f(x)=3x^4-4x^3-12x^2+3$$;
3. $$f(x)=(x+2)^2\sqrt{x}$$;
4. $$f(x)=(x-3)\sqrt{x}$$.

1) $$f(x)=x^4-4x^2+1$$

Найдём производную:

$$f'(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2)=4x(x-\sqrt2)(x+\sqrt2).$$

Так как $$4>0,$$ то знак производной определяется произведением $$x(x-\sqrt2)(x+\sqrt2).$$

Положительные значения производная принимает при

$$x\in(-\sqrt2;0)\cup(\sqrt2;+\infty).$$

2) $$f(x)=3x^4-4x^3-12x^2+3$$

$$f'(x)=12x^3-12x^2-24x=12x(x^2-x-2)=12x(x+1)(x-2).$$

Решаем неравенство

$$12x(x+1)(x-2)>0.$$

Знак произведения положителен на промежутках

$$x\in(-1;0)\cup(2;+\infty).$$

3) $$f(x)=(x+2)^2\sqrt{x}$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2(x+2)\sqrt{x}+(x+2)^2\cdot\frac1{2\sqrt{x}}=\frac{(x+2)(5x+2)}{2\sqrt{x}}.$$

Для существования производной нужно $$x>0,$$ а тогда $$2\sqrt{x}>0.$$

Следовательно, $$f'(x)>0$$ при

$$x\in(0;+\infty).$$

4) $$f(x)=(x-3)\sqrt{x}$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\sqrt{x}+(x-3)\cdot\frac1{2\sqrt{x}}=\frac{3x-3}{2\sqrt{x}}=\frac{3(x-1)}{2\sqrt{x}}.$$

Для существования производной нужно $$x>0,$$ а знаменатель положителен. Тогда

$$f'(x)>0 \iff x-1>0 \iff x>1.$$

Значит,

$$x\in(1;+\infty).$$

Ответ

1) $$(-\sqrt2;0)\cup(\sqrt2;+\infty)$$; 2) $$(-1;0)\cup(2;+\infty)$$; 3) $$(0;+\infty)$$; 4) $$(1;+\infty)$$.