Упр.825 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

1) f (х) = х4 — 4х2 +1;
2) f (х) = 3х4 — 4х3 — 12х2 + 3;
3) f (х) = (х + 2)2 корень х;
4) f (х) = (х-3) корень х.

Подробный ответ

$$f(x)=x^4-4x^2+1$$
$$f'(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2)=4x(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)$$
Производная положительна, когда
$$x\in(-\sqrt2;0)\cup(\sqrt2;+\infty).$$
$$f(x)=3x^4-4x^3-12x^2+3$$
$$f'(x)=12x^3-12x^2-24x=12x(x^2-x-2)=12x(x+1)(x-2)$$
Производная положительна при
$$x\in(-1;0)\cup(2;+\infty).$$
$$f(x)=(x+2)^2\sqrt{x}$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
$$f'(x)=2(x+2)\sqrt{x}+(x+2)^2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{(x+2)(5x+2)}{2\sqrt{x}}$$
Для существования производной нужно $$x>0.$$ Тогда знаменатель положителен, и
$$f'(x)>0 \iff (x+2)(5x+2)>0.$$
При $$x>0$$ оба множителя положительны, значит
$$f'(x)>0 \text{ при } x\in(0;+\infty).$$
$$f(x)=(x-3)\sqrt{x}$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
$$f'(x)=\sqrt{x}+(x-3)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{3x-3}{2\sqrt{x}}=\frac{3(x-1)}{2\sqrt{x}}$$
Для существования производной нужно $$x>0.$$ Тогда
$$f'(x)>0 \iff x-1>0 \iff x>1.$$