Упр.821 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение:

Подробный ответ

$$f(x)=\frac{2x^2-3x+1}{x+1}$$
Используем формулу производной частного:
$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)}$$
Тогда
$$ \left(\frac{2x^2-3x+1}{x+1}\right)’= \frac{(4x-3)(x+1)-(2x^2-3x+1)}{(x+1)^2} $$
$$ =\frac{4x^2+4x-3x-3-2x^2+3x-1}{(x+1)^2} =\frac{2x^2+4x-4}{(x+1)^2} $$
$$f(x)=\frac{3x^2+2x-1}{2x+1}$$
Используем формулу производной частного:
$$ \left(\frac{3x^2+2x-1}{2x+1}\right)’= \frac{(6x+2)(2x+1)-(3x^2+2x-1)\cdot 2}{(2x+1)^2} $$
$$ =\frac{12x^2+6x+4x+2-6x^2-4x+2}{(2x+1)^2} =\frac{6x^2+6x+4}{(2x+1)^2} $$
$$f(x)=\frac{2-x}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{2-x}$$
Сначала упростим выражение:
$$ \frac{2-x}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{2-x} =\frac{(2-x)^2+x}{(2-x)\sqrt{x}} =\frac{x^2-3x+4}{2\sqrt{x}-x\sqrt{x}} $$
Теперь найдём производную по формуле производной частного:
$$ \left(\frac{x^2-3x+4}{2\sqrt{x}-x\sqrt{x}}\right)’= \frac{(2x-3)(2\sqrt{x}-x\sqrt{x})-(x^2-3x+4)\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{3}{2}\sqrt{x}\right)}{(2\sqrt{x}-x\sqrt{x})^2} $$
После упрощения получаем:
$$ f'(x)=\frac{-x^3+x^2+6x-8}{2x\sqrt{x}(2-x)^2} $$
Разложим числитель на множители:
$$ -x^3+x^2+6x-8=(x+2)(5x-x^2-4) $$
$$ f'(x)=\frac{(x+2)(5x-x^2-4)}{2x\sqrt{x}(2-x)^2} $$