Упр.820 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\left(2x-3\right)^5\left(3x^2+2x+1\right)$$
2. $$\left(x-1\right)^4\left(x+1\right)^7$$
3. $$\sqrt[4]{\left(3x+2\right)\left(3x-1\right)^4}$$
4. $$\sqrt[3]{\left(2x+1\right)\left(2x-3\right)^3}$$

1) Пусть $$f(x)=(2x-3)^5(3x^2+2x+1).$$ Тогда по формуле производной произведения

$$f'(x)=\bigl((2x-3)^5\bigr)'(3x^2+2x+1)+(2x-3)^5(3x^2+2x+1)’.$$

$$f'(x)=5\cdot 2(2x-3)^4(3x^2+2x+1)+(2x-3)^5(6x+2).$$

Вынесем общий множитель $$(2x-3)^4$$:

$$f'(x)=(2x-3)^4\bigl(10(3x^2+2x+1)+(2x-3)(6x+2)\bigr).$$

$$f'(x)=(2x-3)^4(30x^2+20x+10+12x^2+4x-18x-6)=(2x-3)^4(42x^2+6x+4).$$

2) Пусть $$f(x)=(x-1)^4(x+1)^7.$$ Тогда

$$f'(x)=\bigl((x-1)^4\bigr)'(x+1)^7+(x-1)^4\bigl((x+1)^7\bigr)’.$$

$$f'(x)=4(x-1)^3(x+1)^7+7(x-1)^4(x+1)^6.$$

Вынесем общий множитель $$(x-1)^3(x+1)^6$$:

$$f'(x)=(x-1)^3(x+1)^6\bigl(4(x+1)+7(x-1)\bigr).$$

$$f'(x)=(x-1)^3(x+1)^6(11x-3).$$

3) Пусть $$f(x)=\sqrt[4]{3x+2}\,(3x-1)^4.$$ Тогда

$$f'(x)=\bigl(\sqrt[4]{3x+2}\bigr)'(3x-1)^4+\sqrt[4]{3x+2}\,\bigl((3x-1)^4\bigr)’.$$

$$f'(x)=\frac{3(3x-1)^4}{4\sqrt[4]{(3x+2)^3}}+12\sqrt[4]{3x+2}\,(3x-1)^3.$$

Приведём к общему знаменателю и вынесем общий множитель:

$$f'(x)=\frac{3(3x-1)^3\bigl((3x-1)+16(3x+2)\bigr)}{4\sqrt[4]{(3x+2)^3}}.$$

$$f'(x)=\frac{3(3x-1)^3(51x+31)}{4\sqrt[4]{(3x+2)^3}}.$$

4) Пусть $$f(x)=\sqrt[3]{2x+1}\,(2x-3)^3.$$ Тогда

$$f'(x)=\bigl(\sqrt[3]{2x+1}\bigr)'(2x-3)^3+\sqrt[3]{2x+1}\,\bigl((2x-3)^3\bigr)’.$$

$$f'(x)=\frac{2(2x-3)^3}{3\sqrt[3]{(2x+1)^2}}+6\sqrt[3]{2x+1}\,(2x-3)^2.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$f'(x)=\frac{2(2x-3)^3+18(2x+1)(2x-3)^2}{3\sqrt[3]{(2x+1)^2}}.$$

$$f'(x)=\frac{2(2x-3)^2\bigl((2x-3)+9(2x+1)\bigr)}{3\sqrt[3]{(2x+1)^2}}.$$

$$f'(x)=\frac{4(2x-3)^2(10x+3)}{3\sqrt[3]{(2x+1)^2}}.$$

Ответ

1) $$f'(x)=(2x-3)^4(42x^2+6x+4);$$

2) $$f'(x)=(x-1)^3(x+1)^6(11x-3);$$

3) $$f'(x)=\dfrac{3(3x-1)^3(51x+31)}{4\sqrt[4]{(3x+2)^3}};$$

4) $$f'(x)=\dfrac{4(2x-3)^2(10x+3)}{3\sqrt[3]{(2x+1)^2}}.$$