Упр.819 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) $$f(x)=\frac{x^2-4}{\sqrt{x}}$$

Найдём производную по формуле производной частного:

$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)}$$

Тогда

$$\left(\frac{x^2-4}{\sqrt{x}}\right)’= \frac{(x^2-4)’\cdot \sqrt{x}-(x^2-4)\cdot (\sqrt{x})’}{(\sqrt{x})^2}$$

$$=\frac{2x\sqrt{x}-(x^2-4)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x}$$

$$=\frac{4x^2-(x^2-4)}{2x\sqrt{x}} =\frac{3x^2+4}{2x\sqrt{x}}$$

2) $$f(x)=\left(\sqrt[4]{x}+\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)\left(\sqrt[4]{x}-\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)$$

Упростим выражение:

$$f(x)=\left(\sqrt[4]{x}\right)^2-\left(\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)^2 =\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Тогда

$$f'(x)=(\sqrt{x})’-\left(x^{-\frac12}\right)’$$

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2x\sqrt{x}} =\frac{x+1}{2x\sqrt{x}}$$

Ответ: 1) $$\frac{3x^2+4}{2x\sqrt{x}}$$; 2) $$\frac{x+1}{2x\sqrt{x}}$$.