Упр.814 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти производную функции:

1. $$\frac{x^2+x^3+x}{x+1}$$;
2. $$\frac{\sqrt{x}+x^2+1}{x-1}$$.

Используем формулу производной частного:

$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)}.$$

1)

$$f(x)=\frac{x^5+x^3+x}{x+1}.$$

Тогда

$$f'(x)=\frac{(x^5+x^3+x)'(x+1)-(x^5+x^3+x)(x+1)’}{(x+1)^2}.$$

Вычислим производные:

$$(x^5+x^3+x)’=5x^4+3x^2+1,\qquad (x+1)’=1.$$

Подставим:

$$f'(x)=\frac{(5x^4+3x^2+1)(x+1)-(x^5+x^3+x)}{(x+1)^2}.$$

Раскроем скобки и приведём подобные:

$$f'(x)=\frac{5x^5+5x^4+3x^3+3x^2+x+5x^4+3x^2+1-x^5-x^3-x}{(x+1)^2}$$

$$f'(x)=\frac{4x^5+5x^4+2x^3+3x^2+1}{(x+1)^2}.$$

2)

$$f(x)=\frac{\sqrt{x}+x^2+1}{x-1}.$$

Тогда

$$f'(x)=\frac{(\sqrt{x}+x^2+1)'(x-1)-(\sqrt{x}+x^2+1)(x-1)’}{(x-1)^2}.$$

Найдём производную числителя:

$$(\sqrt{x}+x^2+1)’=\frac{1}{2\sqrt{x}}+2x,\qquad (x-1)’=1.$$

Подставим:

$$f'(x)=\frac{\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+2x\right)(x-1)-(\sqrt{x}+x^2+1)}{(x-1)^2}.$$

Приведём к общему знаменателю в числителе:

$$f'(x)=\frac{x^2-2x-\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x}}-1}{(x-1)^2}.$$

Умножим числитель и знаменатель на $$2\sqrt{x}$$:

$$f'(x)=\frac{2x^2\sqrt{x}-4x\sqrt{x}-x-2\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}(x-1)^2}.$$

Ответ

$$1)\quad f'(x)=\frac{4x^5+5x^4+2x^3+3x^2+1}{(x+1)^2};$$

$$2)\quad f'(x)=\frac{2x^2\sqrt{x}-4x\sqrt{x}-x-2\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}(x-1)^2}.$$