Упр.814 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) (x2+x3+x)/(x+1);
2)((корень x) + x2+1)/(x-1).

1. $$y=\frac{x^5+x^3+x}{x+1}$$

   Используем формулу производной частного:

   $$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)}$$

   Тогда

   $$y’=\frac{(x^5+x^3+x)'(x+1)-(x^5+x^3+x)(x+1)’}{(x+1)^2}$$

   $$y’=\frac{(5x^4+3x^2+1)(x+1)-(x^5+x^3+x)}{(x+1)^2}$$

   Раскроем скобки и приведём подобные:

   $$y’=\frac{5x^5+5x^4+3x^3+3x^2+x+5x^4+3x^2+1-x^5-x^3-x}{(x+1)^2}$$

   $$y’=\frac{4x^5+10x^4+2x^3+6x^2+1}{(x+1)^2}$$

2. $$y=\frac{\sqrt{x}+x^2+1}{x-1}$$

   Снова применим формулу производной частного:

   $$y’=\frac{(\sqrt{x}+x^2+1)'(x-1)-(\sqrt{x}+x^2+1)(x-1)’}{(x-1)^2}$$

   $$y’=\frac{\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+2x\right)(x-1)-(\sqrt{x}+x^2+1)}{(x-1)^2}$$

   Приведём к общему знаменателю в числителе:

   $$y’=\frac{x^2-2x-\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x}}-1}{(x-1)^2}$$

   Умножим числитель и знаменатель на $$2\sqrt{x}$$:

   $$y’=\frac{2x^2\sqrt{x}-4x\sqrt{x}-x-2\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}(x-1)^2}$$

Ответ

1) $$\frac{4x^5+10x^4+2x^3+6x^2+1}{(x+1)^2}$$

2) $$\frac{2x^2\sqrt{x}-4x\sqrt{x}-x-2\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}(x-1)^2}$$