Упр.813 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

При каких значениях $$x$$ значение производной функции $$y=(x-3)^5(2+5x)^6$$ равно 0?

Найдём производную функции $$y=(x-3)^5(2+5x)^6.$$

По правилу производной произведения:

$$y’=\bigl((x-3)^5\bigr)'(2+5x)^6+(x-3)^5\bigl((2+5x)^6\bigr)’.$$

Тогда

$$y’=5(x-3)^4(2+5x)^6+(x-3)^5\cdot 6(2+5x)^5\cdot 5.$$

Вынесем общий множитель:

$$y’=5(x-3)^4(2+5x)^5\bigl((2+5x)+6(x-3)\bigr).$$

Упростим скобку:

$$(2+5x)+6(x-3)=2+5x+6x-18=11x-16.$$

Значит,

$$y’=5(x-3)^4(2+5x)^5(11x-16).$$

Приравниваем производную к нулю:

$$5(x-3)^4(2+5x)^5(11x-16)=0.$$

Отсюда:

$$x-3=0 \quad \text{или} \quad 2+5x=0 \quad \text{или} \quad 11x-16=0.$$

Получаем:

$$x=3,\qquad x=-\frac25,\qquad x=\frac{16}{11}.$$

Ответ: $$-\frac25,\ \frac{16}{11},\ 3.$$