Упр.813 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 813 При каких значениях х значение производной функции у = (х — З)5 (2 + 5х)6 равно 0? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 813 1111

Найдём производную функции

$$y=(x-3)^5(2+5x)^6.$$

По правилу производной произведения:

$$ y’=\big((x-3)^5\big)'(2+5x)^6+(x-3)^5\big((2+5x)^6\big)’. $$

Тогда

$$ y’=5(x-3)^4(2+5x)^6+(x-3)^5\cdot 6(2+5x)^5\cdot 5. $$

Вынесем общий множитель:

$$ y’=5(x-3)^4(2+5x)^5\big((2+5x)+6(x-3)\big). $$

Упростим скобки:

$$ (2+5x)+6(x-3)=2+5x+6x-18=11x-16. $$

Значит,

$$ y’=5(x-3)^4(2+5x)^5(11x-16). $$

Чтобы производная была равна нулю, нужно, чтобы хотя бы один из множителей был равен нулю:

$$ x-3=0,\quad 2+5x=0,\quad 11x-16=0. $$

Отсюда получаем:

$$ x=3,\quad x=-\frac{2}{5},\quad x=\frac{16}{11}. $$

Ответ

$$x=-\frac{2}{5},\ \frac{16}{11},\ 3.$$