Упр.811 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти $$f'(1)$$, если:
   1) $$f(x)=(x-1)^8(2-x)^7$$;
   2) $$f(x)=(2x-1)^5(1+x)^4$$;
   3) $$f(x)=\sqrt{2-x}(3-2x)^8$$;
   4) $$f(x)=(5x-4)^6\sqrt{3x-2}$$.

1) $$f(x)=(x-1)^8(2-x)^7$$

По правилу произведения:

$$f'(x)=8(x-1)^7(2-x)^7+(x-1)^8\cdot 7(2-x)^6\cdot(-1)$$

$$f'(x)=8(x-1)^7(2-x)^7-7(x-1)^8(2-x)^6$$

Подставим $$x=1$$:

$$f'(1)=8\cdot 0^7\cdot 1^7-7\cdot 0^8\cdot 1^6=0$$

Ответ: $$0$$

2) $$f(x)=(2x-1)^5(1+x)^4$$

По правилу произведения:

$$f'(x)=5(2x-1)^4\cdot 2\cdot(1+x)^4+(2x-1)^5\cdot 4(1+x)^3$$

$$f'(x)=10(2x-1)^4(1+x)^4+4(2x-1)^5(1+x)^3$$

Подставим $$x=1$$:

$$f'(1)=10\cdot 1^4\cdot 2^4+4\cdot 1^5\cdot 2^3=10\cdot 16+4\cdot 8=160+32=192$$

Ответ: $$192$$

3) $$f(x)=\sqrt{2-x}\,(3-2x)^8$$

По правилу произведения:

$$f'(x)=\left(\sqrt{2-x}\right)'(3-2x)^8+\sqrt{2-x}\cdot\left((3-2x)^8\right)’$$

$$f'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{2-x}}(3-2x)^8+\sqrt{2-x}\cdot 8(3-2x)^7\cdot(-2)$$

$$f'(x)=-\frac{(3-2x)^8}{2\sqrt{2-x}}-16\sqrt{2-x}\,(3-2x)^7$$

Подставим $$x=1$$:

$$f'(1)=-\frac{1^8}{2\sqrt{1}}-16\sqrt{1}\cdot 1^7=-\frac12-16=-\frac{33}{2}$$

Ответ: $$-\frac{33}{2}$$

4) $$f(x)=(5x-4)^6\sqrt{3x-2}$$

По правилу произведения:

$$f'(x)=6(5x-4)^5\cdot 5\cdot \sqrt{3x-2}+(5x-4)^6\cdot \frac{3}{2\sqrt{3x-2}}$$

$$f'(x)=30(5x-4)^5\sqrt{3x-2}+\frac{3(5x-4)^6}{2\sqrt{3x-2}}$$

Подставим $$x=1$$:

$$f'(1)=30\cdot 1^5\cdot \sqrt{1}+\frac{3\cdot 1^6}{2\sqrt{1}}=30+\frac32=\frac{63}{2}$$

Ответ: $$\frac{63}{2}$$