Упр.810 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти производную функции: 1) $$\left(x^2-x\right)\left(x^3+x\right)$$; 2) $$\left(x+2\right)\sqrt{x}$$; 3) $$\left(x-1\right)\sqrt{x}$$.

Найдём производные по правилу произведения.

1. $$f(x)=(x^2-x)(x^3+x)$$

   $$f'(x)=(x^2-x)'(x^3+x)+(x^2-x)(x^3+x)’$$

   $$f'(x)=(2x-1)(x^3+x)+(x^2-x)(3x^2+1)$$

   $$f'(x)=2x^4+2x^2-x^3-x+3x^4+x^2-3x^3-x$$

   $$f'(x)=5x^4-4x^3+3x^2-2x$$

2. $$f(x)=(x+2)\sqrt[3]{x}$$

   $$f'(x)=(x+2)’\sqrt[3]{x}+(x+2)\left(\sqrt[3]{x}\right)’$$

   $$f'(x)=\sqrt[3]{x}+(x+2)\cdot \frac{1}{3}x^{-\frac23}$$

   $$f'(x)=\sqrt[3]{x}+\frac{x+2}{3\sqrt[3]{x^2}}$$

   $$f'(x)=\frac{3x+x+2}{3\sqrt[3]{x^2}}=\frac{4x+2}{3\sqrt[3]{x^2}}$$

3. $$f(x)=(x-1)\sqrt{x}$$

   $$f'(x)=(x-1)’\sqrt{x}+(x-1)(\sqrt{x})’$$

   $$f'(x)=\sqrt{x}+(x-1)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

   $$f'(x)=\frac{2x+x-1}{2\sqrt{x}}=\frac{3x-1}{2\sqrt{x}}$$

Ответ: 1) $$5x^4-4x^3+3x^2-2x$$; 2) $$\frac{4x+2}{3\sqrt[3]{x^2}}$$; 3) $$\frac{3x-1}{2\sqrt{x}}$$.