Упр.808 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Дифференцируема ли функция $$y=f(x)$$ в точке $$x$$, если:
   1) $$y=\frac{2}{x-1}$$, $$x=1$$;
   2) $$y=\frac{3x-5}{(x-3)^2}$$, $$x=3$$;
   3) $$y=\sqrt{x+1}$$, $$x=0$$;
   4) $$y=\sqrt{5-x}$$, $$x=4$$?

1. При $$x=1$$ функция $$y=\frac{2}{x-1}$$ не определена, так как

   $$x-1=0.$$

   Следовательно, в точке $$x=1$$ функция не дифференцируема.

2. При $$x=3$$ функция $$y=\frac{3x-5}{(x-3)^2}$$ не определена, так как

   $$(x-3)^2=0.$$

   Следовательно, в точке $$x=3$$ функция не дифференцируема.

3. Функция $$y=\sqrt{x+1}$$ определена при

   $$x+1\ge 0,$$

   то есть при $$x\ge -1.$$

   Найдём производную:

   $$y’=\left(\sqrt{x+1}\right)’=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}.$$

   В точке $$x=0$$ имеем

   $$y'(0)=\frac{1}{2\sqrt{0+1}}=\frac12.$$

   Значит, функция дифференцируема в точке $$x=0.$$

4. Функция $$y=\sqrt{5-x}$$ определена при

   $$5-x\ge 0,$$

   то есть при $$x\le 5.$$

   Найдём производную:

   $$y’=\left(\sqrt{5-x}\right)’=\frac{1}{2\sqrt{5-x}}\cdot(-1)=-\frac{1}{2\sqrt{5-x}}.$$

   В точке $$x=4$$ имеем

   $$y'(4)=-\frac{1}{2\sqrt{5-4}}=-\frac12.$$

   Значит, функция дифференцируема в точке $$x=4.$$

Ответ: 1) не дифференцируема; 2) не дифференцируема; 3) дифференцируема; 4) дифференцируема.