Упр.800 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. По данному на рисунке 108 графику квадратичной функции написать формулы, задающие саму функцию и её производную.

Так как на рисунке изображена парабола, запишем её в виде $$y=ax^2+bx+c.$$

Абсцисса вершины равна нулю, значит $$x_0=-\frac{b}{2a}=0,$$ откуда $$b=0.$$ Тогда

$$y=ax^2+c.$$

Подставим точку $$(0;1)$$:

$$1=a\cdot 0^2+c,$$

следовательно, $$c=1.$$

Теперь используем вторую точку.

а)

График проходит через точки $$(0;1)$$ и $$(1;2).$$ Тогда

$$2=a\cdot 1^2+1,$$

откуда $$a=1.$$ Значит,

$$y=x^2+1.$$

Найдём производную:

$$y'(x)=(x^2+1)’=2x.$$

б)

График проходит через точки $$(0;1)$$ и $$\left(\frac{3}{2};-\frac{3}{2}\right).$$ Тогда

$$-\frac{3}{2}=a\left(\frac{3}{2}\right)^2+1,$$

$$-\frac{3}{2}=\frac{9}{4}a+1,$$

$$\frac{9}{4}a=-\frac{5}{2},$$

$$a=-\frac{10}{9}.$$

Следовательно,

$$y=1-\frac{10}{9}x^2.$$

Найдём производную:

$$y'(x)=\left(1-\frac{10}{9}x^2\right)’=-\frac{20}{9}x.$$

Ответ: а) $$y=x^2+1,\; y’=2x;$$ б) $$y=1-\frac{10}{9}x^2,\; y’=-\frac{20}{9}x.$$