Упр.80 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. 80. Упростить выражение:
   1) $$a^{1/9}\sqrt[6]{a}\sqrt[3]{a}$$;
   2) $$b^{1/12}\sqrt[3]{b}\sqrt[4]{b}$$;
   3) $$\left(\sqrt[3]{ab^{-2}}+(ab)^{-1/6}\right)\sqrt[6]{ab^4}$$;
   4) $$\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\left(a^{2/3}+b^{2/3}-\sqrt[3]{ab}\right)$$.

1) $$a^{\frac19}\sqrt[6]{a^3\sqrt a}=a^{\frac19}\cdot a^{\frac{3}{6}}\cdot a^{\frac{1}{12}}=a^{\frac19+\frac12+\frac{1}{12}}=a^{\frac{4+18+3}{36}}=a^{\frac13}.$$

Ответ: $$a^{\frac13}.$$

2) $$b^{\frac1{12}}\sqrt[3]{b^4\sqrt b}=b^{\frac1{12}}\cdot b^{\frac43\cdot\frac12}=b^{\frac1{12}}\cdot b^{\frac32}=b^{\frac1{12}+\frac{6}{12}}=b^{\frac12}.$$

Ответ: $$b^{\frac12}.$$

3) $$\left(\sqrt[3]{ab^{-2}}+(ab)^{-\frac16}\right)\sqrt[6]{ab^4}$$

Преобразуем множители к степеням:

$$\sqrt[3]{ab^{-2}}=a^{\frac13}b^{-\frac23}, \qquad (ab)^{-\frac16}=a^{-\frac16}b^{-\frac16}, \qquad \sqrt[6]{ab^4}=a^{\frac16}b^{\frac46}.$$

Тогда

$$\left(a^{\frac13}b^{-\frac23}+a^{-\frac16}b^{-\frac16}\right)a^{\frac16}b^{\frac46} = a^{\frac12}b^{\frac23}+a^0b^{\frac12} = a^{\frac12}+b^{\frac12}.$$

Ответ: $$a^{\frac12}+b^{\frac12}.$$

4) $$\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\left(a^{\frac23}+b^{\frac23}-\sqrt[3]{ab}\right)$$

Обозначим $$x=\sqrt[3]{a}, \; y=\sqrt[3]{b}.$$ Тогда выражение принимает вид

$$(x+y)(x^2-xy+y^2).$$

По формуле суммы кубов:

$$(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3=a+b.$$

Ответ: $$a+b.$$