Упр.797 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$x$$ производная функции $$f(x)$$ равна 1, если: 1) $$f(x)=x^3$$; 2) $$f(x)=\sqrt[3]{x^2}$$?

1) $$f(x)=x^3$$

Найдём производную:

$$f'(x)=3x^2$$

Требуется, чтобы $$f'(x)=1$$, значит

$$3x^2=1$$

$$x^2=\frac{1}{3}$$

$$x=\pm\sqrt{\frac{1}{3}}=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$$

2) $$f(x)=\sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}}$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$$

Требуется, чтобы $$f'(x)=1$$, значит

$$\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}=1$$

$$3\sqrt[3]{x}=2$$

$$\sqrt[3]{x}=\frac{2}{3}$$

$$x=\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{8}{27}$$

Ответ

1) $$x=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$$; 2) $$x=\frac{8}{27}$$.