Упр.793 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти $$f'(x_0)$$, если:
   1) $$f(x)=x^6$$, $$x_0=\frac{1}{2}$$;
   2) $$f(x)=x^{-2}$$, $$x_0=3$$;
   3) $$f(x)=\sqrt{x}$$, $$x_0=4$$;
   4) $$f(x)=\sqrt[3]{x}$$, $$x_0=8$$;
   5) $$f(x)=\sqrt{5-4x}$$, $$x_0=1$$;
   6) $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{3x+1}}$$, $$x_0=1$$.

1) $$f(x)=x^6,\quad f'(x)=6x^5.$$

$$f’\!\left(\frac12\right)=6\left(\frac12\right)^5=\frac{6}{32}=\frac{3}{16}.$$

2) $$f(x)=x^{-2},\quad f'(x)=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^3}.$$

$$f'(3)=-\frac{2}{3^3}=-\frac{2}{27}.$$

3) $$f(x)=\sqrt{x}=x^{1/2},\quad f'(x)=\frac12x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

$$f'(4)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}.$$

4) $$f(x)=\sqrt[3]{x}=x^{1/3},\quad f'(x)=\frac13x^{-2/3}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}.$$

$$f'(8)=\frac{1}{3\sqrt[3]{8^2}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{64}}=\frac{1}{12}.$$

5) $$f(x)=\sqrt{5-4x}=(5-4x)^{1/2},$$

$$f'(x)=\frac12(5-4x)^{-1/2}\cdot(-4)=-\frac{2}{\sqrt{5-4x}}.$$

$$f'(1)=-\frac{2}{\sqrt{5-4\cdot1}}=-2.$$

6) $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{3x+1}}=(3x+1)^{-1/2},$$

$$f'(x)=-\frac12(3x+1)^{-3/2}\cdot3=-\frac{3}{2(3x+1)^{3/2}}=-\frac{3}{2\sqrt{(3x+1)^3}}.$$

$$f'(1)=-\frac{3}{2(3\cdot1+1)^{3/2}}=-\frac{3}{2\cdot 8}=-\frac{3}{16}.$$

Ответ

1) $$\frac{3}{16}$$; 2) $$-\frac{2}{27}$$; 3) $$\frac{1}{4}$$; 4) $$\frac{1}{12}$$; 5) $$-2$$; 6) $$-\frac{3}{16}$$.