Упр.792 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Корень 3 степени $$\sqrt[3]{2x+7}$$
2. Корень 4 степени $$\sqrt[4]{7-3x}$$
3. Корень 4 степени $$\sqrt[4]{3x}$$
4. Корень 3 степени $$\sqrt[3]{5x}$$

Найдём производные по формуле $$\left(x^p\right)’=px^{p-1}$$ и правилу производной сложной функции.

1. $$f(x)=\sqrt[3]{2x+7}=(2x+7)^{\frac13}$$
   $$f'(x)=\frac13(2x+7)^{-\frac23}\cdot 2=\frac{2}{3\sqrt[3]{(2x+7)^2}}$$
2. $$f(x)=\sqrt[4]{7-3x}=(7-3x)^{\frac14}$$
   $$f'(x)=\frac14(7-3x)^{-\frac34}\cdot(-3)=-\frac{3}{4\sqrt[4]{(7-3x)^3}}$$
3. $$f(x)=\sqrt[4]{3x}=(3x)^{\frac14}$$
   $$f'(x)=\frac14(3x)^{-\frac34}\cdot 3=\frac{3}{4\sqrt[4]{(3x)^3}}=\frac{3}{4\sqrt[4]{27x^3}}$$
4. $$f(x)=\sqrt[3]{5x}=(5x)^{\frac13}$$
   $$f'(x)=\frac13(5x)^{-\frac23}\cdot 5=\frac{5}{3\sqrt[3]{(5x)^2}}=\frac{\sqrt[3]{5}}{3\sqrt[3]{x^2}}$$

Ответ:

$$f'(x)=\frac{2}{3\sqrt[3]{(2x+7)^2}},\quad f'(x)=-\frac{3}{4\sqrt[4]{(7-3x)^3}},\quad f'(x)=\frac{3}{4\sqrt[4]{27x^3}},\quad f'(x)=\frac{\sqrt[3]{5}}{3\sqrt[3]{x^2}}.$$