Упр.79 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

1)(2^5/3 * 3^-1/3 — 3^5/3 *2^-1/3) корень 3 степени 6;
2) (5^1/4 ^2^3/4 — 2^1/4 ^ 5^3/4) корень 4 степени 1000.

Подробный ответ

1) Преобразуем выражение:

$$ \left(2^{\frac{5}{3}}\cdot 3^{-\frac{1}{3}}-3^{\frac{5}{3}}\cdot 2^{-\frac{1}{3}}\right)\sqrt[3]{6} $$
$$ =\left(2^{\frac{5}{3}}\cdot 3^{-\frac{1}{3}}-3^{\frac{5}{3}}\cdot 2^{-\frac{1}{3}}\right)\cdot 2^{\frac{1}{3}}3^{\frac{1}{3}} $$
$$ =2^{\frac{5}{3}+\frac{1}{3}}3^{-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}-3^{\frac{5}{3}+\frac{1}{3}}2^{-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}} $$
$$ =2^2\cdot 3^0-3^2\cdot 2^0=4-9=-5. $$

2) Преобразуем выражение:

$$ \left(5^{\frac{1}{4}}\cdot 2^{\frac{3}{4}}-2^{\frac{1}{4}}\cdot 5^{\frac{3}{4}}\right)\sqrt[4]{1000} $$
$$ =\left(5^{\frac{1}{4}}\cdot 2^{\frac{3}{4}}-2^{\frac{1}{4}}\cdot 5^{\frac{3}{4}}\right)\cdot \sqrt[4]{10^3} $$
$$ =\left(5^{\frac{1}{4}}\cdot 2^{\frac{3}{4}}-2^{\frac{1}{4}}\cdot 5^{\frac{3}{4}}\right)\cdot 10^{\frac{3}{4}} $$
$$ =5^{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}2^{\frac{3}{4}+\frac{3}{4}}-2^{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}5^{\frac{3}{4}+\frac{3}{4}} $$
$$ =5^1\cdot 2^{\frac{3}{2}}-2^1\cdot 5^{\frac{3}{2}}. $$

Удобнее сгруппировать множители так:

$$ \left(5^{\frac{1}{4}}\cdot 2^{\frac{3}{4}}-2^{\frac{1}{4}}\cdot 5^{\frac{3}{4}}\right)\cdot 10^{\frac{3}{4}} = \left(5^{\frac{1}{4}}2^{\frac{3}{4}}-2^{\frac{1}{4}}5^{\frac{3}{4}}\right)\cdot 2^{\frac{3}{4}}5^{\frac{3}{4}} $$
$$ =5^1\cdot 2^0-2^1\cdot 5^0=5-2=3. $$