Упр.786 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Используя определение предела функции в точке, выяснить, является ли верным равенство: 1) $$\lim_{x \to 1}(2x+1)=3$$; 2) $$\lim_{x \to 2}x^2=4$$.

1) Пусть $$f(x)=2x+1$$ и $$x_0=1$$. Тогда

$$|f(x)-3|=|2x+1-3|=|2x-2|=2|x-1|.$$

Если выбрать $$\delta=\frac{\varepsilon}{2},$$ то из условия $$|x-1|<\delta$$ следует

$$|f(x)-3|=2|x-1|<2\delta=\varepsilon.$$

Значит, для любого $$\varepsilon>0$$ найдётся такое $$\delta>0,$$ что выполняется определение предела. Следовательно,

$$\lim_{x\to 1}(2x+1)=3.$$

2) Пусть $$f(x)=x^2$$ и $$x_0=2$$. Тогда

$$|f(x)-4|=|x^2-4|=|x-2||x+2|.$$

При $$|x-2|<\delta$$ имеем

$$|x+2|=|(x-2)+4|\le |x-2|+4<\delta+4,$$

поэтому

$$|f(x)-4|=|x-2||x+2|<\delta(\delta+4)=\delta^2+4\delta.$$

Достаточно выбрать $$\delta$$ из уравнения

$$\delta^2+4\delta=\varepsilon.$$

Тогда

$$\delta=-2+\sqrt{4+\varepsilon}.$$

Так как $$\varepsilon>0,$$ то $$\delta>0.$$ Следовательно, определение предела выполняется, и

$$\lim_{x\to 2}x^2=4.$$

Ответ: оба равенства верны.