Упр.780 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Используя определение производной, найти $$f'(x)$$, если: 1) $$f(x)=3x+2$$; 2) $$f(x)=5x+7$$; 3) $$f(x)=3x^2-5x$$; 4) $$f(x)=-3x^2+2$$.

Найдём производные по определению:

1. $$f(x)=3x+2$$

   $$\Delta f=f(x+h)-f(x)=3(x+h)+2-(3x+2)=3h$$

   $$\frac{\Delta f}{h}=\frac{3h}{h}=3$$

   $$f'(x)=\lim_{h\to 0}3=3$$

2. $$f(x)=5x+7$$

   $$\Delta f=f(x+h)-f(x)=5(x+h)+7-(5x+7)=5h$$

   $$\frac{\Delta f}{h}=\frac{5h}{h}=5$$

   $$f'(x)=\lim_{h\to 0}5=5$$

3. $$f(x)=3x^2-5x$$

   $$\Delta f=f(x+h)-f(x)=3(x+h)^2-5(x+h)-\left(3x^2-5x\right)$$

   $$=3x^2+6xh+3h^2-5x-5h-3x^2+5x=6xh+3h^2-5h$$

   $$\frac{\Delta f}{h}=\frac{6xh+3h^2-5h}{h}=6x+3h-5$$

   $$f'(x)=\lim_{h\to 0}(6x+3h-5)=6x-5$$

4. $$f(x)=-3x^2+2$$

   $$\Delta f=f(x+h)-f(x)=-3(x+h)^2+2-\left(-3x^2+2\right)$$

   $$=-3x^2-6xh-3h^2+2+3x^2-2=-6xh-3h^2$$

   $$\frac{\Delta f}{h}=\frac{-6xh-3h^2}{h}=-6x-3h$$

   $$f'(x)=\lim_{h\to 0}(-6x-3h)=-6x$$

Ответ: $$f'(x)=3,\; 5,\; 6x-5,\; -6x.$$