Упр.775 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Решить неравенство:

$$\sin x \ge \cos x$$;
$$\tg x > \sin x$$.

Подробный ответ

1) $$\sin x \ge \cos x$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\sin x-\cos x\ge 0$$

Представим разность через синус суммы:

$$\sqrt2\left(\sin x\cdot \frac1{\sqrt2}-\cos x\cdot \frac1{\sqrt2}\right)\ge 0$$

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\ge 0$$

Синус неотрицателен на промежутках

$$2\pi n\le x-\frac{\pi}{4}\le \pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$\frac{\pi}{4}+2\pi n\le x\le \frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\tg x>\sin x$$

Перенесём всё в одну сторону и приведём к общему знаменателю:

$$\tg x-\sin x>0$$

$$\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x>0$$

$$\frac{\sin x-\sin x\cos x}{\cos x}>0$$

$$\frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}>0$$

Так как $$1-\cos x\ge 0$$ и равно нулю только при $$x=2\pi n,$$ то знак дроби определяется знаком $$\tg x$$, а точки $$x=2\pi n$$ не подходят, поскольку дают равенство.

Решаем по знакам:

$$\tg x>0,\qquad 1-\cos x>0.$$

Из условия $$\tg x>0$$ получаем

$$\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Исключая точки, где $$\cos x=1$$, получаем итог:

$$\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$