Упр.774 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти множество значений функции: $$y=12\sin x-5\cos x$$;
2. $$y=\cos^2 x-\sin x$$.

1) Представим выражение в виде одной тригонометрической функции:

$$12\sin x-5\cos x=13\left(\frac{12}{13}\sin x-\frac{5}{13}\cos x\right).$$

Так как $$\cos \varphi=\frac{12}{13}, \quad \sin \varphi=\frac{5}{13},$$ то

$$\frac{12}{13}\sin x-\frac{5}{13}\cos x=\cos \varphi \sin x-\sin \varphi \cos x=\sin(x-\varphi).$$

Следовательно,

$$y=13\sin(x-\varphi).$$

Так как $$-1\le \sin(x-\varphi)\le 1,$$ то

$$-13\le y\le 13.$$

2) Преобразуем выражение:

$$y=\cos^2 x-\sin x=1-\sin^2 x-\sin x.$$

Обозначим $$t=\sin x,$$ тогда $$-1\le t\le 1$$ и

$$y=1-t^2-t.$$

Это квадратичная функция, ветви которой направлены вниз. Найдём её вершину:

$$t_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2\cdot(-1)}=-\frac12.$$

Тогда

$$y_{\max}=1-\left(-\frac12\right)^2-\left(-\frac12\right)=1-\frac14+\frac12=\frac54.$$

Минимум на отрезке $$[-1;1]$$ достигается на концах:

$$y(-1)=1-1+1=1,$$

$$y(1)=1-1-1=-1.$$

Значит,

$$-1\le y\le \frac54.$$

Ответ

1) $$y\in[-13;13]$$; 2) $$y\in\left[-1;\frac54\right].$$