Упр.773 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Построить график функции:

1. $$y=2\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)-2$$;
2. $$y=\cos x-\sqrt{\cos 2x}$$.

1) Рассмотрим функцию $$y=2\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)-2.$$

Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

Так как $$-1\le \sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)\le 1,$$ то

$$-2\le 2\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)\le 2,$$

следовательно,

$$-4\le 2\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)-2\le 0.$$

Значит, область значений функции:

$$E(y)=[-4;0].$$

Период функции:

$$\frac{x+T}{2}+\frac{\pi}{3}=\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}+2\pi,$$

откуда

$$\frac{T}{2}=2\pi,\qquad T=4\pi.$$

Нули функции найдём из уравнения

$$2\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)-2=0,$$

то есть

$$\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=1.$$

Тогда

$$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{6}+2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{3}+4\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Максимум функции равен $$0,$$ он достигается при

$$x=\frac{\pi}{3}+4\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Минимум функции равен $$-4,$$ он достигается при

$$2\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)-2=-4,$$

то есть

$$\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=-1.$$

Отсюда

$$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$\frac{x}{2}=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$

$$x=-\frac{5\pi}{3}+4\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

График — синусоида с амплитудой $$2,$$ периодом $$4\pi$$ и вертикальным сдвигом вниз на $$2.$$

2) Рассмотрим функцию $$y=\cos x-\sqrt{\cos^2 x}=\cos x-|\cos x|.$$

Если $$\cos x\ge 0,$$ то $$|\cos x|=\cos x,$$ и тогда

$$y=\cos x-\cos x=0.$$

Это выполняется при

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Если $$\cos x<0,$$ то $$|\cos x|=-\cos x,$$ и тогда

$$y=\cos x-(-\cos x)=2\cos x.$$

Это выполняется при

$$\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно, график функции задаётся по частям:

$$y= \begin{cases} 0, & \cos x\ge 0,\\ 2\cos x, & \cos x<0. \end{cases}$$

Область значений:

$$-1\le \cos x\le 1,$$

при $$\cos x<0$$ имеем $$-2\le 2\cos x<0,$$ значит

$$E(y)=[-2;0].$$

Нули функции:

$$y=0$$ при $$\cos x\ge 0,$$ то есть

$$x\in\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right],\qquad n\in\mathbb Z.$$

Минимальные значения:

$$y=-2$$ при $$\cos x=-1,$$ то есть

$$x=\pi+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

График состоит из участков оси $$Ox$$ там, где $$\cos x\ge 0,$$ и участков графика $$y=2\cos x$$ там, где $$\cos x<0.$$

Ответ

1) $$D(y)=(-\infty;+\infty),\quad E(y)=[-4;0],\quad T=4\pi,\quad x=\frac{\pi}{3}+4\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$y=\begin{cases}0,& \cos x\ge 0,\\ 2\cos x,& \cos x<0,\end{cases}\quad E(y)=[-2;0].$$