Упр.773 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

1) y=2sin(x/2+пи/3)-2;
2) y=cosx- корень cos2x.

Подробный ответ

$$y=2\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)-2.$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Так как $$-1\le \sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)\le 1,$$ то
$$-2\le 2\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)\le 2,$$
$$-4\le 2\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)-2\le 0.$$
Следовательно, область значений:
$$E(y)=[-4;0].$$
Период функции:
$$T=4\pi.$$
Нули функции найдём из уравнения
$$2\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)-2=0,$$
$$\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=1,$$
$$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{6}+2\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Максимум функции равен $$0,$$ он достигается при $$x=\frac{\pi}{3}+4\pi n.$$
Минимум функции равен $$-4,$$ он достигается при
$$\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=-1,$$
$$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
$$\frac{x}{2}=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$
$$x=-\frac{5\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
График — синусоида с амплитудой $$2,$$ периодом $$4\pi$$ и сдвигом вниз на $$2.$$
$$y=\cos x-\sqrt{\cos^2 x}=\cos x-|\cos x|.$$
Рассмотрим два случая.
1) Если $$\cos x\ge 0,$$ то $$|\cos x|=\cos x,$$ и
$$y=\cos x-\cos x=0.$$
Это выполняется при
$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) Если $$\cos x<0,$$ то $$|\cos x|=-\cos x,$$ и
$$y=\cos x+\cos x=2\cos x.$$
Это выполняется при
$$\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
На этих промежутках
$$-1\le \cos x\le 0,$$
поэтому
$$-2\le 2\cos x\le 0.$$
Значит, график состоит из участков прямой $$y=0$$ там, где $$\cos x\ge 0,$$ и участков графика $$y=2\cos x$$ там, где $$\cos x<0.$$
Область значений функции:
$$E(y)=[-2;0].$$