Упр.771 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 771 Найти все значения х, при которых функция у = 1,5-2 sin2x/2 принимает положительные значения. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 771 1111

Рассмотрим неравенство:

$$y=1{,}5-2\sin^2\frac{x}{2}>0.$$

Преобразуем выражение, используя формулу $$\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}$$:

$$1{,}5-2\sin^2\frac{x}{2}=1{,}5-(1-\cos x)=\frac12+\cos x.$$

Тогда нужно решить неравенство

$$\frac12+\cos x>0,$$

то есть

$$\cos x>-\frac12.$$

Значения косинуса больше $$-\frac12$$ на промежутках

$$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$\left(-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$