Упр.770 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти нули функции: 1) $$y=\cos^2 x-\cos x$$; 2) $$y=\cos x-\cos 2x-\sin 3x$$.

1) $$y=\cos^2 x-\cos x$$

Нули функции найдём из уравнения:

$$\cos^2 x-\cos x=0$$

$$\cos x(\cos x-1)=0$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=1$$

Если $$\cos x=0$$, то

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Если $$\cos x=1$$, то

$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

2) $$y=\cos x-\cos 2x-\sin 3x$$

Преобразуем выражение:

$$\cos x-\cos 2x=2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2}$$

Тогда

$$y=2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2}-\sin 3x$$

Так как $$\sin 3x=2\sin\frac{3x}{2}\cos\frac{3x}{2}$$, получаем:

$$y=2\sin\frac{3x}{2}\left(\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{3x}{2}\right)$$

Используем формулу $$\cos\alpha=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$$:

$$\cos\frac{3x}{2}=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{3x}{2}\right)$$

Тогда

$$\sin\frac{x}{2}-\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{3x}{2}\right)=2\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}-\frac{3x}{4}\right)\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}+\frac{3x}{4}\right)$$

В итоге

$$y=4\sin\frac{3x}{2}\cdot \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\cdot \cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)$$

Следовательно, $$y=0$$, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$\sin\frac{3x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=0$$

1) $$\sin\frac{3x}{2}=0$$

$$\frac{3x}{2}=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=\frac{2\pi n}{3}$$

2) $$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=0$$

$$x-\frac{\pi}{4}=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$

3) $$\cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=0$$

$$\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n$$

Ответ: $$x=\frac{2\pi n}{3},\; x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$