Упр.766 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) у = cos4 х — sin4 х;
2) у = sin (x+пи/4)sin(x-пи/4);
3) y = 1-2 | sin 3х|;
4) у = sin2x — 2 cos2 х.

1. $$y=\cos^4 x-\sin^4 x$$

   Разложим разность квадратов:

   $$y=(\cos^2 x-\sin^2 x)(\cos^2 x+\sin^2 x)=\cos 2x.$$

   Так как $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ то

   $$y_{\min}=-1,\qquad y_{\max}=1.$$

2. $$y=\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$

   Используем формулу:

   $$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac12(\sin^2 x-\cos^2 x).$$

   Так как $$\sin^2 x-\cos^2 x=-\cos 2x,$$ получаем

   $$y=-\frac12\cos 2x.$$

   Поскольку $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ то

   $$-\frac12\le y\le \frac12.$$

   Следовательно,

   $$y_{\min}=-\frac12,\qquad y_{\max}=\frac12.$$

3. $$y=1-2|\sin 3x|$$

   Так как $$0\le |\sin 3x|\le 1,$$ то

   $$-2\le -2|\sin 3x|\le 0.$$

   Прибавим 1:

   $$-1\le 1-2|\sin 3x|\le 1.$$

   Значит,

   $$y_{\min}=-1,\qquad y_{\max}=1.$$

4. $$y=\sin^2 x-2\cos^2 x$$

   Заменим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

   $$y=1-\cos^2 x-2\cos^2 x=1-3\cos^2 x.$$

   Так как $$0\le \cos^2 x\le 1,$$ то

   $$0\le 3\cos^2 x\le 3,$$

   следовательно,

   $$-2\le 1-3\cos^2 x\le 1.$$

   Итак,

   $$y_{\min}=-2,\qquad y_{\max}=1.$$

Ответ

1) $$y_{\min}=-1,\ y_{\max}=1$$; 2) $$y_{\min}=-\frac12,\ y_{\max}=\frac12$$; 3) $$y_{\min}=-1,\ y_{\max}=1$$; 4) $$y_{\min}=-2,\ y_{\max}=1$$.