Упр.765 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти область определения функции:
   1) $$y=\tg\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$$;
   2) $$y=\sqrt{\tg x}$$.

1) Для функции $$y=\tg\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$$ тангенс определён, когда его аргумент не равен $$\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Значит,

$$2x+\frac{\pi}{6}\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,$$

$$2x\ne \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}+\pi n=\frac{\pi}{3}+\pi n,$$

$$x\ne \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно, область определения:

$$D=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}\mid n\in\mathbb Z\right\}.$$

2) Для функции $$y=\sqrt{\tg x}$$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$\tg x\ge 0.$$

Тангенс неотрицателен на промежутках

$$\pi n\le x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Значит, область определения:

$$D=\left[\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: 1) $$x\ne \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$ 2) $$x\in\left[\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$