Упр.759 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти множество значений функции:
   а) $$y=1-2\sin^2 x$$;
   б) $$y=2\cos^2 x-1$$;
   в) $$y=3-2\sin^2 x$$;
   г) $$y=2\cos^2 x+5$$;
   д) $$y=\cos 3x\sin x-\sin 3x\cos x+4$$;
   е) $$y=\cos 2x\cos x+\sin 2x\sin x-3$$.

1) $$y=1-2\sin^2 x$$

Так как $$0\le \sin^2 x\le 1,$$ то

$$-2\le -2\sin^2 x\le 0,$$

следовательно,

$$-1\le 1-2\sin^2 x\le 1.$$

Ответ: $$E(y)=[-1;1].$$

2) $$y=2\cos^2 x-1$$

Так как $$0\le \cos^2 x\le 1,$$ то

$$0\le 2\cos^2 x\le 2,$$

следовательно,

$$-1\le 2\cos^2 x-1\le 1.$$

Ответ: $$E(y)=[-1;1].$$

3) $$y=3-2\sin^2 x$$

Так как $$0\le \sin^2 x\le 1,$$ то

$$-2\le -2\sin^2 x\le 0,$$

следовательно,

$$1\le 3-2\sin^2 x\le 3.$$

Ответ: $$E(y)=[1;3].$$

4) $$y=2\cos^2 x+5$$

Так как $$0\le \cos^2 x\le 1,$$ то

$$0\le 2\cos^2 x\le 2,$$

следовательно,

$$5\le 2\cos^2 x+5\le 7.$$

Ответ: $$E(y)=[5;7].$$

5) $$y=\cos 3x\cdot \sin x-\sin 3x\cdot \cos x+4$$

Используем формулу

$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta.$$

Тогда

$$\cos 3x\sin x-\sin 3x\cos x=-(\sin 3x\cos x-\cos 3x\sin x)=-\sin(3x-x)=-\sin 2x.$$

Значит,

$$y=4-\sin 2x.$$

Так как $$-1\le \sin 2x\le 1,$$ то

$$3\le 4-\sin 2x\le 5.$$

Ответ: $$E(y)=[3;5].$$

6) $$y=\cos 2x\cdot \cos x+\sin 2x\cdot \sin x-3$$

Используем формулу

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.$$

Тогда

$$\cos 2x\cos x+\sin 2x\sin x=\cos(2x-x)=\cos x.$$

Следовательно,

$$y=\cos x-3.$$

Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то

$$-4\le \cos x-3\le -2.$$

Ответ: $$E(y)=[-4;-2].$$